世界末日：公元2026年11月13日
1960年11月4日《科学》杂志发表论文，预计“世界末日”。
全文翻译如下： Science，VOL 132, 1291-1295. November 1960 世界末日：公元2026年11月13日，星期五 如果人类人口仍按过去两千年的方式增长，那么到这一天，人类人口将趋于无穷大 Heinz von Foerster, Patricia M. Mora, Lawrence W. Amiot 在生物种群研究的诸多方面中（1），有一个问题尤其值得关注：如果能够在一段足够长的时间内观察某一种群的行为，我们是否能够根据其个体数量，估计该种群的过去与未来。 所有这类尝试都利用了封闭生物种群中单个个体的两个基本事实：（i）每一个个体都通过该种群中另一个体进行的有性或无性过程而产生，即“出生”；（ii）经过有限时间之后，每一个个体都会不再作为这一种群中可辨识的成员存在，因此必须从种群计数中排除，即“死亡”。 在近乎天堂的条件下——也就是说，不存在环境危害，食物供应无限，个体之间不存在有害的相互作用——一个生物种群整体的命运，在任何时刻都完全由单个个体的两个基本性质决定：繁殖率和死亡率。为简化起见，假定存在一个虚构种群，其中所有个体的行为完全相同，即所谓“等行为种群”（equivivant population，2）。设每个个体在单位时间内产生 γ₀ 个后代，即其繁殖率为 γ₀；又设其死亡率为 θ₀ = 1/tₘ，其中 tₘ 为单个个体的寿命。显然，种群中个体总数 N 的变化率为
其中，α₀ = γ₀ − θ₀，可以称为单个个体的增殖率。根据 α₀ 大于还是小于 0，对式（1）积分，即可得到众所周知的种群指数增长或指数衰减，其时间常数为 1/α₀。 遗憾的是，现实情况并没有这么简单，因为描述繁殖率与死亡率的两个参数可能因个体而异；此外，某一个体的繁殖率还可能随其年龄而变化。 如果要根据整个种群行为的观测结果推导这些分布函数，就需要使用相当复杂的统计方法（3，4）。 然而，只要这些个体仍生活在我们假设的“天堂”中，原则上就能够通过直接的数学方法提取所需的分布函数。这样一来，整个种群的命运，包括其中的各种增长与衰减，仍然完全由可归属于单个个体的性质决定。如果我们放弃描述种群行为全部时间细节的机会，而只满足于从较长时间尺度上对其发展作一般性描述，那么问题就重新简化为求解式（1），只不过此时 N、γ₀ 和 θ₀ 必须分别用跨越若干代、涵盖所有年龄和所有个体所得的适当平均值（γ、θ）来替代。 从种群整体行为的观测中确定 γ 和 θ 的分布函数时所遇到的困难，不应与另一种困境混为一谈：后一种困境产生于我们取消“所有个体都生活在假想天堂中”这一虚构假设之后。前一种困难“仅仅”需要发展适当的数学工具来处理复杂问题，因而原则上可以解决；后一种困难则具有完全不同的性质，因为此时种群的命运已不再单纯依赖个体的两项内在性质——繁殖率与死亡率。环境中的危险因素、个体之间对有限食物资源的竞争、捕食者或猎物的数量——仅举其中几项——都可能影响死亡率、繁殖率，或同时影响二者。如果不能进一步理解这些机制，式（1）便不再适用，我们也就无法对种群的长期发展作出判断。通常的解决方式，是提出一些合理的论证，将个体的这两项内在性质与环境的某些特征联系起来，并希望这种关联得到了充分描述，同时希望我们选取的恰好是研究该种群时最相关的环境属性（4，5）。 环境影响 解释环境影响的一般方法，是把式（1）中的增殖率 α 设定为个体数量 N 的单调递减函数。由于在给定大小的环境中，N 同时也是种群密度的一种度量，因此很容易理解，密度增加在许多情况下会降低单个个体的生存概率。例如，更高的密度可能加剧个体之间的相互竞争，也可能使捕食者更容易获得猎物。一个典型且广泛使用的选择，是令 α 具有如下简单的线性关系：
将其代入式（1）并积分，即得到人口学家所称的“逻辑斯蒂增长曲线”（logistic growth curve）。当以线性尺度将 N 对线性时间作图时，该曲线呈“S形”（sigmoid）（6；7，第67页）。选择这一特定函数，通常基于我们的一个普遍观察：种群不会无限制地增长，而会趋于某个稳定值 N∞。令 α = 0，根据式（2）立即得到
此外，这一函数产生的结果与一些真实生物种群的观测数据之间具有相当合理的拟合，例如牛奶瓶中的果蝇（8）、培养皿中的细菌菌落（7，第71页）等。 无论在更细致地分析环境与种群之间的相互作用机制之后，式（2）这一简单表达是否仍然成立，似乎都有充分证据表明，例如在有性繁殖物种中，较大种群使配偶更易获得所带来的优势，会被有限环境中越来越多个体为生存而展开更激烈竞争所造成的劣势所抵消，且后者的影响更为显著。换言之，“随着个体数量增加，增殖率可能下降”这一一般思路无疑具有合理性。 联盟 然而，对于那些由于彼此之间缺乏充分沟通、因而不得不进行竞争性的、近乎零和的多人博弈的个体而言可能成立的情况，对于拥有沟通系统的个体却未必成立。后者能够组成联盟，直至所有个体之间形成如此紧密的联系，以至于从博弈论的角度，可以把整个种群视为一个单一的行动者，而自然则成为它在双人博弈中的对手。在这种情况下，假定个体数量的增加能够形成更加多样而有效的联盟，并非荒谬。这种联盟不仅可能削弱环境危害的作用，而且可能把生活条件改善到超过“自然状态”下所能达到的水平。 人类人口可以作为一个典型例子。历史时期中社会组织结构不断形成，近几个世纪城市化迅速发展，近几十年来大众传播手段又得到广泛发展，这些现象都可以作为证据。 由于增殖率 α 在某种意义上反映了种群的生活水平，因此我们很容易提出这样一个假设：对于由能够彼此沟通的个体构成的种群，其增殖率可能是个体数量的单调递增函数。暂且设 α 是 N 的一个缓变函数：
其中 α₀ 和 k≈1 稍后由实验数据确定。把式（3）代入式（1）并积分，再由积分常数条件 t = t₁，N = N₁ 确定积分常数，即立即得到所需的 N(t)：
其中，特征日期 t₀ 取代了一组常数：
出于显而易见的原因，我们将 t₀ 称为“世界末日”（doomsday），因为当 t = t₀ 时，N 将趋于无穷大，这个聪明的种群也将因此毁灭自身。 如果把“末日时距”（dooms-time）定义为
即距离世界末日尚余的时间，那么式（4）可以改写为 N = K/τᵏ。这一表达式以及由式（3）和式（4）很容易导出的另外两个关系如下：
在这些方程中，常数 K 代表式（9）中所示的基本常数 α₀ 和 k；式（7）把增殖率表示为末日时距的函数，可以看到，随着世界末日临近，增殖率上升得越来越快；式（8）则表示这样一个时间间隔 Δtₚ：如果一个种群在时刻 τ 有 N 个个体，那么经过这一时间间隔后，它将拥有 pN 个个体。当 p = 2 时，这就是种群的“倍增时间”（doubling time）。 值得注意的是，在这种种群中，Δtₚ，即“p 倍化时间”（p-folding time），是末日时距 τ 的线性函数。这与指数增长种群形成鲜明对比：对于指数增长种群，这些时间间隔始终保持不变：
其中 1/α₀ 是增长过程的时间常数。 人类人口 为了检验式（3）所表达的假设究竟是否具有任何合理性，我们选择世界人口作为测试案例。之所以如此，是因为我们认为，对于由具有沟通能力的个体组成的种群，其长期发展最可靠的数据很可能存在于人类历史之中。采用世界人口估计值，而非某些特定地理区域的人口数据，可以在一定程度上消除局部波动和迁徙的影响。通过文献检索，我们获得了24组世界人口估计值（见9—11），其时间跨度约为100代，从公元元年（t = 0）一直延伸至接近当时的现在（t = 1958）。我们仔细检查了这些估计值是否彼此独立，对于怀疑只是文献之间相互转引而得到的数据，则从统计中剔除，以避免不恰当的权重。 我们采用最小二乘法，从数据中求取 t₀、K 和 k 三个数值，得到：
对所有纳入考虑的数据点而言，均方根偏差约为7%。 利用这些数值，当 p = 2 时，式（6）、（7）和（8）变为：
最后，根据式（9）以及式（10b）和式（10c），可得到
图1以图形方式给出了所采用的数据，以及使用式（10）中的数值所得的理论函数〔式（6）〕。这里，个体总数 N 和末日时距 τ 均采用对数坐标。其依据在于：当且仅当确定了一个适当的 t₀ 值时，实验结果在双对数图上才应排列为一条斜率为 −k 的直线。 为便于阅读，图的下方横轴标示历史时间 t，方向由右向左；上方横轴则由左向右标示末日时距 τ。同样，图的左侧记录个体数量 N，右侧则表示全球人口密度 n，即每平方英里的人口数。该值只需用个体总数除以地球全部陆地面积 A 即可得到：
作为比较，图中还标示了若干1958年的人口密度估计值。 观察图1，并考虑到7%这一较小的均方根偏差，可以看出，即使不采用导出式（6）时所作的那些一般化处理，式（11）似乎仍然可以作为一个相当适当的经验公式，用来表示我们所记录的大部分人类人口增长数据，而这些数据覆盖了约两千年的时间区间。考虑到假定在 t = t₀ ≈ 公元2027年出现的这一有趣奇点，随之产生的问题是：把这一关系外推至某个 t* < t₀ 之后，其可靠性究竟如何？ 只需进行简单计算即可发现：假如 Charlemagne 当年拥有式（6），并掌握他那个时代可能获得的世界人口资料，那么他对世界末日日期的预测误差可以控制在300年以内。英国的 Elizabeth I 可以把这一临界日期预测到110年以内，而 Napoleon 则可以达到30年以内。今天，我们所处的位置要好得多，因为我们只需要把证据从最后一个观测点向前外推4%；因此，我们可以把世界末日预测在大约10年的误差范围内。 设想自己未来的命运当然总是很有吸引力，不过，我们也不应忽视把这个函数向过去外推所能带来的一点乐趣。我们发现，100万年前，世界人口约为20万人；1200万年前，居住在 Tuscany 的 Hürzeler 的“可憎煤人”（Abominable Coal Men）（12）或许不超过15,000个。如果还想把这一关系进一步向更遥远的过去外推，就必须准备面对不一致，因为关于个体具有可沟通性的假设到那时将在一定程度上失去意义。因此，如果希望计算一个假想的“Adam”出现的日期——也就是说令 N = 1——所得结果约为2000亿年前。即使天文学家最狂野的推测，也还没有提出一个能够接近这一数字的宇宙年龄［当时的估计约为240亿年（13）］。 乐观主义者还是悲观主义者？ 希望以上论述能够给那场激烈争论再添一点燃料：是否已经到了必须采取措施控制人口增长的时候？这场争论把正在讨论的这个种群中那些自称对人类事务有所关心的个体严格分成了两个相互对立的阵营（14）。一边是乐观主义者，他们把人口爆炸视为令人欢迎的客户群扩张——无论这些客户是婴儿用品消费者（15）、选民，还是虔诚的信徒（16）；另一边则是悲观主义者，他们担忧自然资源的迅速枯竭以及生物圈遭受不可逆转的毒害（14，17）。 乐观主义者坚持认为，无论人口增长多快，食品技术和工业科学都能够轻松跟上这一发展速度，从而使人类人口中的个体——至少在未来几代之内——维持完好的经济状况和个体健康。悲观主义者描绘的人类未来则没有这么玫瑰色。他们指出人口增长率正在不断上升，同时假定工业和科学的发展速度会慢得多。因此，悲观主义者认为，人口密度继续迅速增加将伴随着人的尊严的恶化；如果不采取措施控制世界人口，人类最终的命运将只是让个体在生存边缘维持一种近乎植物性的生活状态（18）。 当我们回到式（11）和图1所给出的人口增长曲线，并回忆推导它时所依据的前提，就会发现，乐观主义者的观点是正确的：人类一直能够发展出适当的技术来养活自己，或者说，人类总能产生与其技术任务相适应的人口。这可以从实际人口数量与计算值之间相对较小的偏差推测出来，尽管在过去两千年中，人类经历了若干次根本性的技术革命。 因此，我们可以相当有把握地得出结论：已经被100多代人的经验所证明的“适当技术”原则，至少还能维持三代。幸运的是，我们并不需要通过过度的进一步外推来勉强这一理论，因为——悲观主义者在这里又错了一次——我们的玄孙辈不会饿死。他们会被挤死。 面对这样一幅令人不适的图景，有一点显然很清楚：尽管悲观主义者无论从哪种意义上说都是“职业上的马尔萨斯主义者”，乐观主义者却必然是“内心深处的马尔萨斯主义者”，期待着在某个时刻、以某种方式发生某件事情，使这场不断加速、奔向自我毁灭的竞赛停下来。 人口伺服机制 然而，在一个高度沟通的社会中，我们并不需要再次求助于那位熟悉的老 Malthus，让他援引某种环境因素，并声称这种因素的充裕或枯竭会抑制过度增殖。我们也没有必要一直等待某种外部机制来影响人类活动。今天，人类的环境越来越少受到“自然力量”的支配，越来越多地由人类自身所决定的社会力量来塑造。因此，人类可以在这一问题上主动控制自己的命运，就像在生活中几乎所有那些个体行为会影响同类的领域里，人类已经采取控制一样。 毫无疑问，要建立一种控制机制——姑且称之为“人口恒定器”（peoplo-stat）——使世界人口维持在一个期望水平，将是极其困难的。然而，这里需要注意的关键在于：确定这一水平究竟应该是多少，只是次要问题。首要问题在于找到一种方法，使人口无论处于什么水平都能够保持恒定。 这意味着，如果选择某个假定保持不变的特定人口数 N*，那么显然必须有
由于当时的趋势并没有显示出任何可观察到的、试图缩短人类平均寿命 tₘ 的努力——恰恰相反，我们看到这一数值在持续增加——因此很明显，我们的“人口恒定器”必须控制生育率 γ*，并使其维持在 1/tₘ 的水平。 就当时而言，这意味着必须把出生率降低至现有水平的大约一半；换言之，需要把平均家庭规模减少到略高于两个孩子。到了明天，这当然会变得更加困难，因为——正如我们已经看到的——出生率与死亡率之间的差距每一分钟都在扩大。 为解决这一问题，人们已经提出过若干建议，包括立法、对拥有两个以上孩子的家庭征收重税、取消税收抵扣等等。最近甚至有人提出，把太空旅行作为另一种选择（19）。 遗憾的是，无法向这些太空旅行者发放重返地球的许可。
图1观测得到的世界人口 N（左侧刻度）和世界人口密度 n〔单位为每平方英里个体数，右侧刻度〕以圆点表示；根据式（11）计算所得的结果以实线表示；不同作者所作的预测以三角形表示。以上数据分别作为历史时间 t（下方刻度）和末日时距 τ（上方刻度）的函数绘制。每一个数据点旁的数字均为相应的参考文献编号。图内文字标注包括：τ（上方横轴，末日时距）、t（下方横轴，历史时间）、N（左侧纵轴，世界人口）、n（右侧纵轴，世界人口密度）、t₀ = 2027；以及 JAPAN（日本）、INDIA（印度）、EUROPE（欧洲）、U.S.A.（美国）、U.S.S.R.（苏联）、AFRICA（非洲）。图中的数值刻度、数据点旁的参考文献编号及年代数值均按原图保留。
