王虹：中美法数学教育与科研氛围的差异北京大学数学科学学院
王虹，现任纽约大学柯朗数学科学研究所教授、法国高等科学研究所（IHES）数学学科终身教授。2011年获得北京大学数学学士学位；2014年，分别获得巴黎综合理工学院工程师学位和巴黎第十一大学硕士学位；2019年，获得麻省理工学院博士学位，随后在普林斯顿高等研究院从事博士后研究。2021年完成博士后研究后，于同年7月受聘加州大学洛杉矶分校助理教授。2023年7月，任纽约大学柯朗数学科学研究所副教授。2025年2月，王虹与约书亚·扎尔（Joshua Zahl）合作在预印本网站arXiv上发布127页论文，宣告攻克“三维挂谷猜想（three-dimensional Kakeya conjecture）”难题。2025年9月，担任法国高等科学研究所终身教授，同时兼任纽约大学柯朗数学科学研究所数学正教授。7月23日，王虹获得菲尔兹奖，成为历史上第三位获得菲尔兹奖的女性。
1.当前工作——调和分析、几何测度论与ICM报告
Q：首先祝贺您获得菲尔兹奖，并在今年的国际数学家大会上作报告。作为历史上第三位获得菲尔兹奖的女性数学家，请问您收到获奖的消息时是什么感受？您的两个报告都是关于几何测度论中的投影理论的，请问这是一个怎样的领域？您为何选择它作为报告主题？
A：我接到电话的时候还是挺高兴的。但是半个小时以后要做报告，所以就想了一下，后来就尽量不去想。
今年这两个报告，一个报告讲的是调和分析是如何作用在几何测度论中，这个是在会议的分组报告；另一个全体报告讲的是投影理论，就是几何测度论这边的多尺度工具。两个报告想说的是几何测度论和调和分析这两个领域互相作用，一个报告讲一个领域在另一个领域的作用，另一个报告讲反过来的作用。
Q：您与约书亚·扎尔合作解决了三维挂谷猜想，这在领域内被认为是本世纪调和分析与几何测度论方面最重大的突破。此前也有不少顶级数学家研究过这个百年难题。能否请您用相对通俗的方式介绍一下这一问题的核心难点？哪些主要的观察使得你们可以克服这些困难？
A：挂谷猜想在三维及以上，它的一个难点在于，如果从投影理论的角度来讲的话，它是存在障碍的。比如说三维里面的障碍就是，如果一些“管状集(tube)”全部集中在一个平面上的话，我们是可以有二维的管状集，但是它们的并还是相对于一个平面的小邻域，所以这就意味着管状集的维数并不是一个适合去描述这个问题的假设。
挂谷猜想本身的条件是挂谷集在每个方向都包含有一条线段，这个条件非常难做归纳。可以考虑把这个条件弱化一点，比如我们之前比较自然的方式是把它弱化成维数这个条件，但这个条件在三维及以上是不管用的。后来我们根据托马斯·沃尔夫（Thomas Wolff）之前的工作，觉得比较适合的条件是“沃尔夫公理(Wolff axiom)”。但我们观察到沃尔夫公理其实可以跟维数结合起来提一些条件，这就是后来我们提的“凸沃尔夫公理(convex Wolff axiom)”。
还有一个难点就是实数域和复数域的区别。在三维里有障碍，即一个假想的反例：在复数域上存在着一个“近似”的反例。所以至少我们所采用的研究三维挂谷猜想的方法，需要我们能够分清楚实数域和复数域——并且光从几何上来分清楚。这件事情不太简单。
我们在三维里的观察可能主要是提出了一个合适的条件——凸沃尔夫公理，并且基于巴勃罗·什默金（Pablo Shmerkin）以前的多尺度分析的想法，对于任何一组管状集的集合，我们可以找到其中一些凸沃尔夫公理的结构，然后使得我们可以对任意管状集的集合做归纳。
Q：您在更早前与凯文·任（Kevin Ren）给出了二维弗斯滕伯格猜想（Furstenberg猜想）的证明，也利用到了精细的多尺度分析。请问它的证明思想和三维挂谷猜想有哪些相同点和不同点？
A：它们共同的特点都是先做了“粘性(sticky)”情形[由奥尔波宁(Orponen)和什默金(Shmerkin)证明]，然后再以粘性情形作为基础情形去做归纳。这也是为什么二维弗斯滕伯格猜想的证明做出来以后，就觉得三维可能有一些希望。
它们的不同点在于，在二维里面我们考虑的主要还是管状集或者“管段(tube segment)”，即短一点的管状集，它在经过缩放以后还是管状集。但是三维里我们不光要考虑管状集，还要考虑“平板层(slab)”——像二维的小平面，甚至还要考虑“板条(plank)”：板条是小的长方体，介于管状集和平板层之间。我觉得这也是一个听起来特别简单，但是很有用的观察。所以我们其实要考虑的是一系列可以变化的几何图形，然后我们需要对这一串来做归纳。这是三维里的问题稍微复杂一点、但也比较有意思的地方。
Q：您今年早些时候和约书亚·扎尔以及拉里·古斯（Larry Guth）在预印本网站(arXiv)上发布了您和扎尔之前关于三维挂谷猜想的127页文章的一个42页简化证明，篇幅差不多只有三分之一，令人印象非常深刻。请问您能大概讲讲你们后来的简化证明依赖于哪些关键想法吗？您如何看待这类简化证明的意义？
A：我们在最开始比较长的那篇文章里，去得到“颗粒(grain)”结构是用了多项式方法。拉里观察到，其实我们的证明不需要用多项式方法——我们可以先假设颗粒是退化的，即把管段当成颗粒，然后我们的证明就已经可以从这个出发来做归纳。这个简化其实是拉里的观察，他把证明中用到他自己方法的部分给去掉了（笑）。
他还做出了很多其他观察。比如我们原来的证明比较复杂，是在于有很多引理，这些引理之间都互相依赖，或者有很多步骤。如果我们把这个证明想象成一个图，每个小的论证或者引理是一个点，然后它们之间连线的话，我觉得原来的证明图里的边比较多，导致逻辑稍微复杂一点。但是简化证明的时候，拉里把它抽象出来。比如说他把整个情况归结为“无处粘性(nowhere sticky)”。更具体地，原来情况分为“粘性”和“不是粘性”，而拉里把“不是粘性”的情况归结为只需要证明一个非常不粘性的情况，即无处粘性，然后把它抽象出来，用一个比较柔和的论证把整个情况约化到无处粘性的情况。这就相当于把原来很大且很多边的图，其中一部分子图拿出来，这个子图比较自洽，剩下的图就可以更简单一些。
我觉得主要就是这两个简化会把证明理得更加清楚一些。
这类简化证明的意义在于，它能让人更看清楚难度在哪里。它把证明分成一些小部分，每一部分都包装得比较好，跟其他部分的连接相对没那么紧密。本来是一个很复杂的东西需要我们去消化，后来把它分成很多小部分，就有很多小工具可以使用。其中一些想法，比如约化到无处粘性这个想法，不光在这篇文章有用，其实在很多其他问题上，我们也可以直接套过去。因为它是比较柔和的思路，所以大家直接套着用就可以了。所以简化的证明可以使得某些比较自洽的论证比较好地搬运到其他问题和证明中。
Q：除刚刚提到的工作外，您在几何测度论中的法尔科纳距离集（Falconer距离集）猜想上也做出过突出贡献，还有调和分析其他核心问题，比如解耦理论（decoupling理论）、傅里叶限制性猜想、博赫纳-里斯乘子猜想（Bochner-Riesz乘子猜想）以及局部光滑化猜想。能否请您简要介绍一下这些工作及其意义？您觉得您的各个工作之间是否有一些内在的联系呢？
A：法尔科纳距离集猜想说的是，如果平面上有一个集合的维数大于1，那么考虑它的距离集（集合中任意取两个点，取它们在欧氏空间中的距离），这个距离集必须有正的测度。拉里·古斯、欧雨濛、亚历克斯·约瑟维奇（Alex Iosevich）还有我证明的是，如果平面上集合的维数严格大于5/4，那么它的距离集就有正测度。这个工作用到了解耦理论，更具体地，需要我们建立一种叫精细化解耦（refined decoupling）的工具。后者也独立地被张瑞祥和杜秀敏发现。
剩下的解耦理论、傅里叶限制性猜想、博赫纳-里斯乘子猜想和局部光滑化猜想，都是调和分析中的一些理论和猜想。可能大家也有听说过调和分析中这一串的猜想的联系，比如局部光滑化猜想能推出博赫纳-里斯乘子猜想，傅里叶限制性猜想，还有挂谷猜想。事实上，所有我和合作者在这些问题上的工作，它们相互之间都是有联系的。我觉得比较共同的联系是，它们都需要考虑管状集在空间中是如何相交的。当然调和分析中的问题可能还需要处理一下振荡。
Q：从几何测度论的投影理论和二维弗斯滕伯格集，到后来调和分析的三维挂谷问题以及傅里叶限制性猜想，您似乎把一个问题中的思想和技术应用到了另一类问题。现在回头来看，您觉得这种迁移是事先有明确预期，还是说在研究过程中逐渐显现出来的呢？您如何看待未来几何测度论在调和分析研究中的位置？
A：我觉得它们的联系本来就在那里，只是在等着我们去发现而已（笑）。
至少目前来看，几何测度论中关于投影理论的研究和调和分析，接下来一段时间里都会处于互相影响的状态。比如说做更高维的挂谷猜想或者是限制性猜想，可能需要对投影理论有更深入的了解。反过来，在研究投影理论的过程中，我们有的时候也需要用到调和分析中的想法。比如调和分析中布尔甘-德米特的解耦定理（Bourgain-Demeter decoupling）的证明，他们采用的归纳方式非常精细，我们吸收了这种精细归纳的想法，然后再用到投影理论里面。所以大家可以看到最近投影理论的一些文章的归纳也相对比较精细。
Q：您的研究兴趣非常广泛，横跨调和分析、几何测度论、组合数学、偏微分方程等方向。请问对于调和分析和几何测度论未来的发展，您有哪些特别期待的方向或者问题？在短期内有哪些感兴趣或者希望解决的问题？您觉得这次获奖会对您未来的研究工作包括整个职业生涯产生哪些影响？
A：我还是挺期待做调和分析和几何测度论的人能够多多交流，两方面的想法能融合得更好，提出更多好的问题，做出更多好的结果。
我觉得获奖对我未来的研究工作可能没有什么影响。
2.成长故事与科研方法
Q：您曾经在北京大学数学科学学院完成本科学习，之后转入巴黎综合理工学院取得硕士学位，并在麻省理工学院跟随拉里·古斯教授完成博士学位。回顾这几段求学经历，哪些训练、老师或学术环境对您的成长产生了很重要的影响？求学期间有没有什么特别有趣或者让您印象深刻的故事可以和我们分享？
A：我是转系来到北大数院的，转系的时候得到了数学学院师兄和老师的支持和鼓励。特别是宋春伟老师,他教我们大一的高等代数课，那时候我作为外系学生来数院听课，他注意到并鼓励我说那么认真努力可以学好的，为我后来转入数院增加了信心。
在北大数院的时候，我就觉得我们级的学习氛围特别好，感觉想做数学做科研的人特别多，大家有时候也会互相讨论，比如看什么课本比较好，课外再读一些什么书，有时候也会组织讨论班。当时大家互相帮助得比较多吧。我以前也经过唐云清同学的推荐，去了本阅（北大数院本科生阅览室），在本阅里也认识很多一起学习的人（笑）。在北大数院接受的训练让我有了扎实的基本功并且养成了一些好的学习习惯，这让我在之后的课程学习中有了底气。
到巴黎综合理工以后，我们学校可能没有什么人想做纯数学，我们年级五百个人可能就五六个人想做纯数学。那边老师非常多，可能老师们会比较愿意跟想学纯数学的学生交流。
在麻省理工以后，我主要是受我的博士导师拉里·古斯的影响非常非常的大。除此之外，我觉得麻省理工的同学们也都比较友好，比较愿意互相帮助。比如说我当时做科研的时候经常待在我们的common room里自习，有时候会遇到孙鑫，然后跟他聊一聊，还有很多其他的中国同学也会一起聊一聊。
我的博士导师拉里·古斯给每一个博士毕业的学生都会送一本书。我记得我博士毕业的时候，他当时给我送了一本书叫《上学的忧伤》（Chagrin d’école）——是一本法语书，中文翻译也有叫《上学的烦恼》的。写的是作者本来是差生，后来怎么样变好，变成中学的文学老师，然后再探讨学校教育和他如何教学生——类似教育散文的这样一本书，我读着觉得特别好。
Q：根据北大一些老师的回忆，您在本科阶段代数学得比较多，请问您为何最终选择了分析方向，能否分享一下您的心路历程？
A：我在本科阶段最开始代数成绩比较好，后来就觉得自己学代数比较有希望，所以就学了很多代数课。但是后来去了巴黎综合理工念书，我当时上网查，好像他们学校分析比较好，所以我就学分析了（笑）。
Q：您到麻省理工之后是一开始就想去做调和分析吗？还是说有哪些经历促使您进入这个领域？您在其他采访中经常提到您的导师拉里·古斯，您能否讲讲您是如何认识他并成为他的学生的？您和他之间有哪些有趣的故事可以分享？
A：我对调和分析产生兴趣是在法国跟伊万?马泰尔（Yvan Martel）老师一起读文献的时候。那个时候他让我读陶哲轩写的一本关于偏微分方程的书，那本书里面有一道题，那道题我做了两个月没做出来（笑）。那道题里面引了两篇论文，其中一篇是路易斯·维加（Luis Vega）写的。然后我就去读这两篇，有一篇特别长我就没读完，而路易斯·维加写的那一篇特别短，才十几页，里面用了限制性定理。那个时候我就觉得，限制性定理能把一个很长的论文变得很短，里面肯定包含很深刻的数学。因为这个原因，后来我就对调和分析，特别是限制性定理很感兴趣。当然那个题做了两个月没做出来，单纯是因为我懒得算（笑）——因为那个题只要你把所有项算出来，展开抵消就完了，但是算出来可能有十几二十项，我一直以为会有更精妙的方法，但其实就是暴算而已。但不管怎么样，这道题促使我去读这两篇文章，然后对调和分析感兴趣。
关于怎么认识拉里的：当时伊万·马泰尔和皮埃尔·拉斐尔（Pierre Raphael）两位老师商量了一下，决定送我去麻省理工做科研实习——科研实习是我们学校的一个要求，所以我一定要去一个地方做一个科研实习。他们俩知道有这个要求以后，就决定推荐我去麻省理工。我去了以后，本来是要跟吉廖拉·斯塔菲拉尼（Gigliola Staffilani），后来有一次拉里在讲一个讨论班，讲的是埃尔德什距离问题——他和内茨·卡茨（Nets Katz）一起解决的那个问题。我去听的时候，好像第一次听讨论班觉得自己听懂了，以前也听过很多但都听不懂。后来我就对他做的很感兴趣。正好非常凑巧，吉廖拉就问我要不要跟拉里一起做科研。然后我就觉得非常好，就去跟拉里做科研了。
我那个时候问他能不能给我一道小问题，因为我上了这么多年学还不知道做科研什么感觉。然后他就给了我一个小问题，那个问题跟合作者们很快就做出来了。后来那年秋天我就正常申请，然后等消息，等到四月份才从候补名单转正。
Q：我们注意到您的论文发表起点很高，而且绝大部分都发表在顶级期刊上。您对自己写的论文有什么样的要求？
A：因为我不太喜欢写作文，所以我只在对结果比较感兴趣的时候才写，不然我觉得写得很累（笑）。投稿的期刊其实大部分都是根据合作者们的意见，他们想投哪我基本都赞成。
Q：您的多篇代表性论文篇幅很长，尤其是三维挂谷猜想，推导的逻辑链条看上去复杂而漫长。您在处理这类大问题时，如何保持整体布局的清晰，而不在证明细节的反复尝试或技术修补之中迷失方向？您认为要驾驭这种大篇幅，数学家需要具备哪些特质？
A：有的时候一些比较长的逻辑链条，它的框架可能会基于一些相对简单的“玩具模型(toy model)”。比方说，这个框架在二维的时候搭了一些，当你把它变到更复杂的问题时，相当于有一条线索去大概感觉框架应该怎么走，但走的时候会遇到各种各样的问题。
可能需要长期以来攒下的直觉，就是什么时候该用什么东西。但这种长期以来攒下的直觉，还是需要算很多子情形，算很多例子和特殊情况，去感觉大概什么情况是对整个推导能产生进步的，什么情况是不一定产生进步的。
有点像拼图，每一块拼图就是自己算例子和算子情形算出来的，每一块拼图都已经理解得比较清楚；而最后把它们拼起来的过程，如果你大概有一个想法或者方向，比如从简单的二维情况你大概有个想法，那你就大概知道每一块拼图在哪，有时候有点像是局部微调的感觉。当你想一个问题想足够久以后，你会知道这个问题最困难的地方在哪，所以做的时候会不断地问自己到底有什么方法，是否真正去面对这个困难、克服它。有了这个感觉以后，你开始的时候把拼图大概放在一些地方，可能是“ε-接近”于正确的证明（就是说它不一定在严格正确的地方，但大概差不多），然后你在微调的过程中，就把ε变得越来越小，最后变到零就可以了。这个过程还是会比较复杂，但只要你有一些自信，觉得这个论证能真正克服这个问题的本质困难，你在调的过程中就会相对比较有信心。
Q：菲尔兹奖短片里提到您对三维挂谷猜想的系统性研究始于陶哲轩写的一个博客。之前有很多顶级数学家，比如布尔甘（Bourgain）、沃尔夫、卡茨、陶哲轩，还有您的导师拉里·古斯，都花了很多精力研究这个问题。那么您当时选择坚持啃下去这个“硬骨头”，是纯粹出于好奇心，还是意识到了一些新的工具可能用得上，或者是一些机缘巧合？您和约书亚·扎尔的127页文章里致谢了很多人，请问您觉得你们的研究是否部分得益于这种开放的讨论环境？
A：首先比如说在法尔科纳距离集问题上，托马斯·奥尔波宁（Tuomas Orponen）在2016年左右就已经做出了一个“阿尔福斯-戴维正则(Ahlfors-David regular)情形”，这个阿尔福斯-戴维正则情形有一点点三维挂谷猜想里的粘性情形的感觉。大家想了一段时间后意识到这种情形在法尔科纳距离集研究中是一个很重要的子情形，并相信研究它的价值。陶哲轩在博客里说，对于三维挂谷猜想，粘性条件是最难得到的；尽管如此，类似于奥尔波宁的工作在法尔科纳距离集研究中有用，我们也相信粘性情形在挂谷猜想中也有用，是一个有意义的出发点。但当时我们读陶哲轩博客的时候有这样一个误解，好像觉得在假设粘性的情况下他们的论证都非常有说服力，以为只要把细节写出来就好了，并不知道这是一个很困难的问题，也就开始讨论了。
