百年传承，一脉星河——写在菲尔兹奖揭晓之际刘克峰
如果同一届四位菲尔兹奖得主，竟共同师出同一位学术宗师——这看似不可思议，却极有可能即将成为现实。数学向来是一门极为看重薪火相传的学问，让它能够跨越文明、穿越时空，历经千百年的洗礼而愈发璀璨。谨以此文，致敬中国数学的两位伟大的先行者——陈省身先生和丘成桐先生。
1970年秋，加州大学伯克利分校，陈省身刚刚结束在外数月的学术访问，他很高兴地得知丘成桐已经完成了两篇有关流形曲率与基本群的论文，丘成桐也表达了希望跟随他钻研微分几何的愿望。在陈省身欣慰的目光里，丘成桐感受到的不仅是一位导师对后辈的期许，更是一个绵延数百年的数学分支的交接——陈省身曾将一门被许多人认为已无前途的学科从沉寂中救起，赋予它新的生命；而丘成桐从那一刻起，便立下了将其发扬光大的志向。
一个阳光明媚的下午，博士第二年的丘成桐，像往常一样走进图书馆，在那条熟悉的走廊尽头停下了脚步。一整面墙，从地板到天花板，整齐摆放着《欧拉全集》。欧拉是微分几何的开创者，最早将微积分和微分方程应用于曲线和曲面的研究。他随手抽出一卷，恰巧是欧拉与拉格朗日的书信集。这两位变分法的奠基人，在字里行间讨论着那个时代最前沿的问题。而变分法最经典、最核心的研究对象，正是极小曲面——在给定边界上面积最小的曲面（比如铁丝圈起的肥皂泡）。变分法会告诉你这样的曲面应该满足怎样的方程。这恰好是丘成桐的最爱。拉丁文虽不尽懂，但数学公式却亲切而清晰——跨越了语言的隔阂与时间的鸿沟。他读着读着，仿佛置身于二百多年前的欧洲。
欧拉与拉格朗日
1755年，柏林，普鲁士国王腓特烈大帝的宫廷里，48岁的欧拉放下了手中的鹅毛笔。他面前摊着一封信，来自意大利都灵，落款是一个他从未见过的陌生人——拉格朗日。那年，19岁的拉格朗日刚从都灵大学毕业不到一年。
欧拉读完信，沉思了很久，写了一封回信：“最杰出、最卓越的先生，读完你的来信后，我对你非凡敏锐的才智，无论怎样赞叹都不为过。你已经把变分法提升到了最高的完美境地，你的分析方法能轻松推出像最优速降线这类极大极小问题的解答，其适用范围远远超过我那种建立在几何观念上的方法。”
此后的几年里，欧拉与拉格朗日在通信中围绕变分法的基本原理及其应用展开了持续而深入的讨论。经过两人的相互启发与不断完善，这一研究最终形成了后来所称的欧拉—拉格朗日方程。这是现代数学物理中最重要的方程之一。
1766年，欧拉离开任职二十五年的柏林科学院，重返圣彼得堡。临行前，他向普鲁士国王推荐拉格朗日接替自己在柏林的职位。欧拉早已从两人长达十年的通信中认识到拉格朗日非凡的数学才能；如今，他又亲自将自己的学术位置传递给这位年轻人。同年，拉格朗日接受邀请来到柏林，开始了长达二十余年的柏林生涯。两位数学家虽然身处欧洲东西两端，却继续通过书信交流数学问题。这次职位上的交接，也象征着十八世纪数学的一次重要传承。
拉格朗日把正在撰写的巨著《分析力学》的手稿寄给欧拉，附信说：“从此力学可以被看成分析学的一个分支了。您的每一个建议，都像是点亮了一盏灯。我沿着您照亮的道路前进，越走越远。如果没有您创立的变分法，没有您的鼓励与指引，它不会存在。您是我们共同的导师。”
欧拉回信：“那正是我希望的。就像牛顿说的那样，让后来者站在我们的肩膀上，看到我们还未看到的风景。我最亲爱的朋友，我已经老了，但我很高兴，您已经超越了我。”
欧拉和拉格朗日除了讨论数学，物理，力学，天文学，也谈论文学。欧拉的父亲是一位牧师，希望欧拉学习神学，这使得他自幼便沉浸在文学和神学文献中。欧拉一生写了1000部论文和书籍，文风优美流畅，被誉为数学家中的莎士比亚。拉格朗日出生于意大利都灵的一个富裕家庭，其父希望他成为一名律师。因此，他年轻时接受了扎实的古典文学和人文教育。
欧拉：“最近我在研究光线在曲线和曲面上的折射和反射。”
拉格朗日：“这是否可以解释彩虹的形成？”
“很好的问题！我还研究了同余方程的求解。后来我发现，公元5世纪的中国人，早就知道了这个结果。中国古代的军事家孙子用它来计算士兵的总数。”
“那把这个结果叫做中国剩余定理怎么样。”
“不错！这个定理还可以用来推导你的插值公式。”
“这个古老的东方大国到底还藏了多少我们不知道的秘密。”
“中国古代的一位帝王写过一句诗——自是人生长恨水长东。”
“李煜！我在诗歌爱好者的聚会中听说过他。”
“这句诗蕴含了热力学第二定律——时间是单向的。”
“好在我们的友谊是双向奔赴的。”
欧拉：“希望后人提起我的工作的时候，不要忘了你的贡献和传承。”
拉格朗日：“在中国，你被称做欧拉——欧拉+拉格朗日。”
1783年，欧拉去世，享年76岁。拉格朗日在巴黎科学院发表悼词，他说：“欧拉停止了计算，也停止了生命。但他留下的，是整个数学。”
后人把欧拉和拉格朗日的书信集结出版，整理文稿的责任编辑在出版前咨询了学术顾问。
编辑：“拉格朗日的导师是谁？”
顾问：“欧拉！”
“可是他们都没有见过面，甚至拉格朗日连博士学位都没有。”
“他们的联系比一般师生更加的紧密。”
“好吧，拉格朗日的论文题目是……”
“《有关变分法的书信》”
“这是认真的吗？”
“就这么写，但别写是谁说的。”
丘成桐放下手中的《欧拉全集》，不知不觉中，天色已经完全暗了下来。他走出图书馆，望着月亮和满天繁星。欧拉和拉格朗日，二百多年前的两位科学巨人，把名字留给了星空——月球上有欧拉环形山，地月之间的连线上有第一拉格朗日点——也把思想传承给了每一位仰望星空的后来者。
丘成桐的老师莫里（Morrey）在《变分法中的多重积分》一书中，极大拓展了经典的变分理论，这是几何测度论的萌芽。1960年，两位美国数学家费德勒（Federer）和弗莱明（Fleming）在《数学年鉴》上发表了一篇极具开创性的论文《正规和整数流》，宣告了现代几何测度论的诞生。这是现代变分法处理几何极值问题的语言和工具——如果极小曲面不光滑（有奇点），或者具有分形特征的图形，该如何研究它？这时候就必须用到几何测度论。
一个经典的例子是丘成桐与孙理察（Schoen）证明正质量定理的工作。他们用的是反证法，证明的关键步骤之一是构造稳定极小曲面，但由面积最小化得到的极小曲面起初只是广义解，其光滑性并非显然。几何测度论中的存在性与正则性理论在这里发挥了关键作用——它不仅保证了极小曲面的存在，还进一步证明，这些极小曲面实际上是光滑的，从而使微分几何工具能够应用于后续的证明之中。
今天，我们看丘成桐的贡献，不仅在于解决了卡拉比猜想、正质量猜想等众多的著名难题，更重要的是他建立了几何与非线性偏微分方程之间的桥梁——用非线性偏微分方程解决几何问题，用几何思想推动非线性偏微分方程的求解，使几何分析发展成为现代数学的核心领域。
欧拉与拉格朗日的师生传承被郑重地写入了数学家的族谱。据极不完全统计，欧拉（主要是拉格朗日这一支）的有据可查的学术后代包括傅里叶、希尔伯特、E. 嘉当，以及菲尔兹奖得主塞尔、格罗滕迪克、德利涅、费弗曼、奎伦、科恩、斯梅尔、德林菲尔德、瑟斯顿、孔涅、唐纳森、文卡特什、陶哲轩、康切维奇、维亚佐夫斯卡，还有约翰·帕顿（John Pardon）、雅各布•齐默曼（Jacob Tsimerman），当然还有邓煜、王虹。
王虹是青年一代调和分析学家的杰出代表。她与扎尔（Zahl）合作解决三维挂谷猜想的成果，正处于调和分析与几何测度论的交汇处。而首先将挂谷猜想与调和分析紧密联系起来的是两位菲尔兹奖得主费弗曼（Fefferman）和布尔甘（Bourgain）。
挂谷问题的重要性，在于它与许多其他问题有关——Stein限制性猜想，Bochner-Riesz猜想，Falconer距离集猜想，局部光滑性猜想，甚至还有加法数论。王虹对其中许多问题都有重要贡献。王虹的博士导师古斯（Guth）就是在研究度量几何的时候，发现与挂谷猜想的联系，后来成为了挂谷猜想的头号粉丝。古斯的博士导师是莫罗卡（Mrowka），而莫罗卡的两位博士导师是陶布斯（Taubes）和卡比（Kirby）。陶布斯与莫罗卡是几何分析学家，卡比是拓扑学家。一个个在古斯手中为解决几何问题而创造的新工具，最终改变了调和分析乃至挂谷猜想的整个发展方向。
虽然二维情形很早就得到了解决，人们还完全解决了有限域和部分解决了p进域上的挂谷猜想，但是高维挂谷猜想依然极其困难。包括布尔甘和陶哲轩在内的许多数学家多年来一直在努力，却始终未能突破三维以上的情形。
长期以来，挂谷猜想一直被认为是整个分析领域最核心、最具挑战性的公开问题之一。因此，即使王虹与扎尔解决的只是三维情形，这一成果仍被公认为近年来调和分析领域最重要的突破。
邓煜与哈尼（Hani）、马骁合作，从牛顿力学描述的硬球系统，严格推导出玻尔兹曼（Boltzmann）气体动力学方程；再由玻尔兹曼方程严格推导出欧拉和纳维—斯托克斯（Navier-Stokes）流体方程，从而解决了希尔伯特第六问题。
这个问题长期以来的困难在于——牛顿动力学是时间可逆的，但玻尔兹曼方程是时间不可逆的。一个时间可逆的微观理论，怎么能够导出一个具有时间方向的宏观理论？
气体分子数目巨大，几乎不可能一个个去追踪。如果我们把一个个气体分子想象成一座城市中成千上万的人。邓煜与合作者的核心思想是，人们在日常生活中不断相遇、分开，直接追踪每个人的一生几乎不可能。但如果把每一次相遇画成一个节点，把同一个人在两次相遇之间画成一条线，就得到一张巨大的社交网络。不必去研究每个人，而是研究这张网络的整体结构——那些偶然相遇的人形成简单的树状分支，那些经常见面的熟人形成复杂的闭环。他们证明，越复杂的闭环，在随机运动中出现的概率就越低。因此真正决定整体宏观行为的，只是那些简单的树状结构。
类似地，在量子场论中，为了计算粒子间的散射概率，物理学家需要把所有可能的相互作用路径（即费曼图）加起来。然而，实际计算中，确实需要系统性地去除或抵消一些特定的项。费曼图是美国物理学家、诺贝尔物理学奖获得者费曼（Feynman）在1940年代发展起来研究量子场论中粒子相互作用的技巧，催生了量子色动力学以及凝聚态物理的多项诺贝尔物理学奖。
图论在邓煜的多项研究中都起了关键作用。既然他的工作与物理密切相关，这也许并不是偶然。康切维奇获得1998年菲尔兹奖的四大获奖工作，每一项都与费曼图有些关系。
邓煜的发现，也许可以用一句有些伤感的话来描述——很多人，我们已经见完了最后一面。或者更诗意一点——人面不知何处去，桃花依旧笑春风。
邓煜的另一项重要工作，是求解三维波动方程的原创突破，确立了他在偏微分方程概率论方法的领军地位。他与合作者将菲尔兹奖得主海尔（Hairer）关于抛物方程的正则性理论拓展到双曲型方程。海尔的开创性论文长达236页，是他最著名的工作之一。海尔是菲尔兹奖得主中仅有的两位物理博士之一，另一位是大名鼎鼎的物理学家威滕（Witten）。但海尔应该算是一位数学家。
王虹证明三维挂谷猜想、邓煜破解三维波动方程。但这两项工作都难以推广到四维以上，这也许并非偶然。三维恰好处于数学的舒适区——复杂度足够产生深刻现象，又刚好能被现有工具驾驭；而高维则意味着组合爆炸，关键不等式失效，是一种来自维度的封印。这不禁让人追问：如果人类是高维生物，情况会不同吗？
邓煜接过欧拉与拉格朗日开创的分析传统，又融入了欧拉奠基的图论的现代手法，最终解决了同门前辈希尔伯特悬置百年的难题；而王虹则在同门前辈傅里叶开创的理论的延长线上，降服了那个从欧拉—拉格朗日变分法中生长出的古老猜想。两位来自古老东方大国的年轻人，借力于两百多年前祖师爷留下的利器，循着同门前辈开辟的道路，殊途同归地叩开了数学殿堂的宝藏。还有什么比这更魔幻的吗？
菲尔兹奖中的微分几何与拓扑学家
之前的菲尔兹奖得主中，有4位微分几何学家：道格拉斯（Douglas），丘成桐，唐纳森（Donaldson）, 佩雷尔曼（Perelman）；8位拓扑学家：托姆（Thom），米尔诺（Milnor），阿蒂亚（Atiyah），斯梅尔（Smale），诺维科夫（Novikov），奎伦（Quillen），瑟斯顿（Thurston），弗里德曼（Freedman）。
过去四十年间，虽然仅有佩雷尔曼一人以微分几何/拓扑学家的身份摘得菲尔兹奖，但孙理察（Schoen）、布伦德尔（Brendle）、马奎斯（Maques）等多位微分几何学家，都曾凭借突破性的成就极度接近菲尔兹奖。与此同时，威滕（1990）与孔采维奇（1998）的工作虽非纯粹的几何拓扑，却与之有着深刻的联系，前者以拓扑量子场论连接物理与拓扑，后者以形变量子化与镜像对称拓展了几何的边界。这提示我们，对新时代的微分几何与拓扑学家而言，如何让成果出圈，使其在更广阔的领域中受到关注，是一个值得深思的战略问题。未来的发展趋势，或许在于与代数、分析、物理的深度融合。
帕顿的工作属于辛几何和拓扑领域。他最重要的工作之一，是证明了卡拉比—丘流形计数几何从局部到整体的普适性定理。从1990年代开始，卡拉比—丘三维流形上存在许多不同的曲线计数理论：Gromov-Witten (GW), Donaldson-Thomas (DT), Pandharipande-Thomas (PT), Gopakumar-Vafa (GV)。然而，如何严格证明这些复杂理论之间的等价性，长期以来一直是该领域悬而未决的核心难题。帕顿的突破性发现在于：任何两种计数理论，只要在局部曲线情形下保持等价，那么它们在整体的三维卡拉比-丘流形上必然等价。这一深刻的定理将复杂的全局问题转化为相对可控的局部问题，为攻克这一长期困扰数学界的难题开辟了捷径。
