黎曼诞辰200周年：一篇论文，160多年

1859年，伯恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）写了一篇八页纸的论文。他在文中坦承，研究“还没有得到完善的结论”，并留下了若干证明缺口。

这八页纸里，藏着一个关于素数分布的猜想。此后160多年，全世界最聪明的数学家一次次向它发起冲击，至今无人证明，也无人推翻。

格奥尔格·弗雷德里希·伯恩哈德·黎曼（德语：Georg Friedrich Bernhard Riemann，1826年9月17日—1866年7月20日）。图源：维基百科

黎曼去世时还不满40岁，正式发表的论文屈指可数，其中的每一篇都几乎重塑了一整个数学分支，包括黎曼几何、黎曼曲面、黎曼ζ函数、黎曼积分等重要遗产。爱因斯坦描述广义相对论的语言也以黎曼几何为基础。

2026年9月17日，是黎曼诞辰两百周年。这位偏远乡村里的牧师之子，是怎样一步步走到数学世界中心的？

牧师之子与数学天赋

1826年9月17日，伯恩哈德·黎曼出生于汉诺威王国（现属德国）一个偏僻的村庄。

父亲曾在哥廷根大学学习神学，因抵抗拿破仑而中断学业入伍，退伍之后回村里做牧师，收入并不高。

老黎曼亲自给家里六个孩子上课。黎曼约十岁大的时候，父亲请了一位老师协助自己教孩子们算术和几何。这位老师很快发现，自己有时也难以跟上黎曼的解题思路。

黎曼最大的乐趣之一，就是自己编出困难的题目，再让兄弟姐妹来解。

伯恩哈德·黎曼所出生的村庄Breselenz，但他是在Quickborn长大。图源：wikimedia

黎曼大约十一二岁时，圣诞节前后，村里的孩子们聚在一起展示自己用纸板等材料制作的手工作品。轮到黎曼时，他拿出的不是普通装饰品，而是一件真正能够使用的“万年历”。这个装置可以利用年份、月份、闰年和星期循环之间的规律，帮助判断不同日期所对应的星期。

1840年，14岁的黎曼进入正规学校接受正式教育，相当于今天的八年级。

1842年，黎曼的数学老师Constantin Schmalfuss发现十六岁的黎曼极具数学天赋，学会一个特殊的结论便能自己推导出更一般的结论。Schmalfuss便因材施教，在每堂课上专门为他提供与其能力相匹配的内容。

结果，黎曼一次次超过老师的预期。最后，老师发现自己教不了这个学生了，便把自己丰富的私人数学藏书向黎曼开放，由他自由取阅。黎曼就这样读完了有关欧几里得、阿基米德、阿波罗尼奥斯（古希腊数学家，主要成就在圆锥曲线）的著作，还读了牛顿的《广义算术》（Arithmetica Universalis）、笛卡儿的《几何学》（La Géométrie）、勒让德的《数论》。

接下来发生的事，多少有些出乎所有人的意料。Schmalfuss发现，黎曼越来越沉迷数学阅读，以至于拉丁文和德文作文经常拖延。Schmalfuss不得不暂时停止借数学书给他，并与另一位教师Seffer合作，逼他把其他学科的作业完成。

Schmalfuss 老师发现黎曼的主要问题是过于追求完美了。一句话写出后，总要反复推敲，担心表达得不够准确，结果常常因为修改过度而无法按时完成作文。

Seffer老师让黎曼寄宿在自己家里，并经常陪黎曼写作直到深夜，反复告诉他不要思考过度，到截止时间必须给文章收尾。

两位老师没有彻底解决黎曼的这个问题，但至少能让黎曼应付学校的作业和考试了。

从哥廷根到柏林：走向数学

1846年，黎曼入读哥廷根大学古典文献学和神学专业——这是父亲希望的专业，也容易获得教会的资助来减轻家庭负担。

当时的德意志大学实行“学习自由”（Lernfreiheit）的制度，学生可以自由地选课、转学，没有作业，没有考试，没有GPA。黎曼只选修了寥寥几门专业相关课程，主要精力都用于学习数学和物理学。

约翰·卡尔·弗里德里希·高斯（Carolus Fridericus Gauss；1777年4月30日—1855年2月23日），德国数学家、天文学家、大地测量学家、物理学家。图源：wikimedia

哥廷根最重要的人物是高斯（Carl Friedrich Gauss）。黎曼并非高斯直接指导的学生，但深受其思想影响。入学第一周，他便借阅高斯的《算术研究》（Disquisitiones Arithmeticae），之后又阅读高斯关于数论、地磁学和曲面理论的著作。

19世纪德国大学中，图书馆和个人阅读是学生成长的重要途径。据留存的借阅记录，黎曼在哥廷根累计借阅了大约500种书籍和期刊。

黎曼的兴趣并不局限于纯数学。他对地磁学、天文学和物理测量也很感兴趣，这些兴趣贯穿了黎曼后来的学术生涯。

第一年结束时，黎曼学习数学的决心已经定了。哥廷根的高阶课程比较少，他于1847年转学去了柏林大学。

黎曼在柏林大学修课证明（Abgangszeugnis）显示的第一学期课程：数论、分析方法在数论中的应用、光学、球面天文学、近代史。图源：参考文献

黎曼在柏林大学重点学习的课程有狄利克雷（Peter Gustav Lejeune Dirichlet）的数论和分析方法在数论中的应用、偏微分方程、艾森斯坦（Gotthold Eisenstein）的椭圆函数、雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）的分析力学。

在柏林近两年，黎曼进入了复分析、数论和数学物理的最前沿。在狄利克雷的影响下，他逐渐形成了从基本概念和整体结构出发研究问题的风格，这成为后来黎曼数学最鲜明的特征。

除了学习，黎曼开始进行学术研究。

1847年1月11日，仍在哥廷根学习的黎曼完成了一篇关于微分与积分一般理论的论文。数学家Moritz Stern很欣赏这项工作，并建议他投稿到顶尖的数学期刊。黎曼却认为这项成果“实际用处太少”，最终没有投稿。

开创数学新天地

1849年4月，黎曼返回哥廷根，开始攻读博士学位。当时的德国，学生念几年大学后就可以直接读博，不需要学士和硕士这样的中间阶段。

黎曼的博士论文由高斯负责审阅。人们常把高斯称作黎曼的博士导师，但两人并不存在今天这种由导师持续指导论文研究的关系；黎曼基本独立完成了论文，只是在提交之后才与高斯讨论。

1851年，黎曼完成博士论文。

向来吝于给予赞誉的高斯给出了罕见的高度评价："这是一部优秀且极具价值的著作，不仅达到了人们通常对博士论文的要求，更远远超越了这些标准。"

黎曼的博士论文不只是证明了几个结果，而是改变了研究复函数的方式。黎曼不再只把复变函数看成公式，而是把函数、曲面、映射和几何结构联系起来，重塑了复变函数的研究方式，并为后来现代复分析的发展奠定了基础。

1851年12月，黎曼获得博士学位。

当时获得博士学位后有两个典型去向，通过教师资格考试，去做中学老师，或继续努力三五年，获得特许任教资格（Habilitation），留在大学任教。

大学教职极少，几乎所有学生都会选前一条路，但黎曼没有去考，而是准备任教资格。

黎曼的任教资格论文《关于函数由三角级数表示》与高斯的研究领域完全无关，而是与狄利克雷的研究方向更接近。有科学史家推断，黎曼的部分参考资料是在柏林求学时从狄利克雷那里获得的。

黎曼的任教资格论文不是他最具革命性的作品，但也是数学史上的重要文献：它推进了函数与积分概念的严格化，并孕育了后来所谓的黎曼积分。

1852年秋，狄利克雷访问哥廷根。狄利克雷给了黎曼详尽的笔记，还细致审阅了黎曼的论文，并提出了一些有价值的建议。

1853年初，黎曼的兴趣突然从数学转向了自然哲学。

他重温牛顿的《自然哲学的数学原理》后，试图建立自己的“自然哲学的新数学原理”：他将物理过程与心理过程进行类比，认为人的意识活动中存在持续产生和消失的“精神质量”，自然界中也可能存在类似的内部过程。他提出一种“充满空间的物质”（space-filling substance，类似于以太）的假设，万有引力就是这种物质的压力，这种物质的振动就是光、热现象的成因。