捋头发这个动作，松手后可能吓你一跳

随手捡起一根掉落在身上的头发，一只手捏住它的一端，另一只手用拇指和食指的指甲尖夹住发丝，顺着长度方向一捋。松手以后，原本近似笔直的头发末端竟变成了一枚细小而规整的弹簧。

图 1 指甲夹持并滑过后，头发末端形成多个紧密线圈

这个动作看上去只是在“顺着头发拉扯”。可如果受力真的只有轴向拉伸，头发为什么会向侧面弯曲，还离开平面卷成了螺旋呢？

这不是一次单纯的轴向拉伸

先看一个理想情形。一根均匀、笔直的细杆受到沿中心轴的拉力，各处会产生近似相同的轴向应变。卸载后，它要么恢复原长，要么留下均匀伸长。这个受力过程保持左右对称，不会指定细杆向哪一侧弯曲。

指甲缝里的头发却不是这样。两个指甲尖施加一对方向相反的法向力 N，发丝相对指甲向左滑动时，指甲对发丝的摩擦力 f 沿局部切线向右。与此同时，发丝必须绕过甲尖附近很小的曲率半径。它经历的是张力、夹压、摩擦和强弯曲的组合，而不仅单轴拉伸。

图 2 指甲夹持头发瞬间可能的局部受力示意

设发丝直径为 d，局部曲率半径为 R。弯曲时，外弧被拉长，内弧被压缩。在线弹性细杆近似下，最外层的应变量级为：

以直径 70µm 的头发为例，若它在甲尖附近形成 0.7mm 的弯曲半径，表层应变约为 5%；若弯曲半径降至 0.2mm，应变可接近 18%。这已经不是可以忽略的小变形。

为什么不是圆弧，而是螺旋？

一条空间曲线需要两个几何量来描述。

曲率 k 描述中心线在某一点弯曲得有多强；曲率越大，曲率半径越小：

扭率 T 描述密切平面沿曲线前进时转动得有多快。

若一段曲线的扭率处处为零，它位于某个平面内；若曲率和非零扭率均为常数，中心线才会形成圆柱螺旋。

图 3 圆弧与螺旋

对半径为 a、每转一周前进 2πb 的圆柱螺旋，

当 b=0 时，螺距消失，螺旋退化成圆。这个极限直接说明：只有弯曲而没有几何扭率，得到的应是平面曲线。

那么，指甲的“夹击+滑动”为什么会诱导螺旋线的生成？可能的解释如下：

1. 绕过指甲尖的强弯曲和应力松弛，留下残余曲率；

2. 发丝在滑动中的滚转，使最容易弯曲的方向沿长度逐渐旋转。

图 4 不那么规则的三维卷曲

残余曲率使头发离开直线，弯曲方向的转动则使它不再局限于同一个平面。把被指甲捋过的那段头发分成许多小段：如果每一小段弯曲得差不多，而且每前进相同距离，弯曲方向都转过近似相同的角度，那么整段头发就会形成半径和螺距较为均匀的螺旋；若弯曲程度或转动速度忽强忽弱，得到的便是不规则的三维卷曲。

“粗—细—粗—细”的周期从哪里来？

有趣的是，如果试图把线圈展开，指腹就会感到周期性的起伏。仔细观察，发丝上似乎也有交替出现的粗细变化，而且周期数与线圈数相近。

图 5 线圈展开后的表观粗细变化

真实直径为什么可能影响弯曲？（若暂时忽略分层结构、截面椭圆度和材料各向异性，把头发近似成均质圆杆……）细杆的弯曲刚度为：

其中 E 是弹性模量，I 是截面惯性矩。把头发直径近似为 d，有

在线弹性、小变形且初始笔直的近似下，弯矩与曲率满足

因此，在相同弯矩下，

直径若减小 10%，弯曲刚度会降至

相同弯矩产生的曲率便增大到约 1/0.66≈0.66 倍。因此，直径的小幅变化确实可能使弯曲集中在较细的位置。

这和天然卷发是一回事吗？

天然卷发的形态是在毛囊生长和角化过程中形成的。毛囊的三维轨迹、毛球和根鞘的空间不对称、皮质细胞的分布，以及毛干两侧细胞长度和角蛋白结构的差异，都可能影响最终曲率。

如果毛干一侧角化后具有稍长的自然长度，另一侧稍短，整根头发就会通过弯曲来容纳这份长度差。若这种不对称方向沿生长方向旋转，弯曲平面也会随之旋转。