清华00后博士生，一个念头打破数学界80年僵局新智元

近80年，没人动过Erdős概率方法的下界底数。清华、中科大团队首次给出指数级改进。

2026年5月，数学四大顶刊Inventiones Mathematicae刊发了一篇来自中国团队的论文。

作者是：清华/中科大双聘教授马杰，清华博士生申武杰，中科大博士生谢晟捷。

论文地址：https://link.springer.com/article/10.1007/s00222-026-01421-9

Erdős 1947年发明的概率方法，奠定了整个概率组合学。

此后近80年，没有任何人能从根本上突破它的极限。

而这篇论文，首次给出了指数级改进。

一枚硬币扔了80年

Erdős的方法非常简单：给完全图的每条边掷硬币，正面红，反面蓝。

举个例子，任何足够大的社交网络里，都必然存在一群人全互相认识或全互不认识。而Erdős用这枚硬币证明了，「足够大」至少是指数级的。

有意思的是，上界这些年一直有人在推进，2023年更是从≈4一口气压到了3.7992。但下界的底数，自Erdős提出之后近80年都纹丝未动。

直到马杰团队提出了那个关于球面的想法。

但硬币太笨了

硬币着色的特点是每条边红蓝各半、完全独立。

简洁，好分析，但它没有利用任何几何结构来压制单色团的形成，浪费了信息。

申武杰的想法是给随机性加入几何。

他提出了「随机球图」模型，也就是把n个节点随机撒在高维球面上，两点距离远的边涂红，近的涂蓝。

高维球面有一个极反直觉的特性——

维度一高，几乎所有点都挤在赤道附近。随机选两条径向线，夹角几乎一定接近90度。

点对距离集中在一个很窄的区间里，着色不再完全随机，而是被球面的几何对称性精确调控。球面结构天然压制大片单色团的形成。

但这里有一个取舍。球面模型压低了红色团的概率。

也就是说，要形成大的红色团，需要很多节点彼此都很远，球面空间有限，这很难发生。但同样的道理，蓝色团的概率反而上升了。

随后，三人在小规模图上做了验证。

数以万计的着色方案里，无团着色的概率依然大于零——收益确实盖过了代价。

接下来就是证明这一点，而关键恰恰来自高维球面那些极反直觉的几何性质。

以近对角线Ramsey数r(k, 2k)为例，两个参数一个是另一个两倍的情形，Erdős硬币给出的下界底数恰好是黄金比例(1+√5)/2≈1.618。

马杰、申武杰、谢晟捷把这个底数提高到了(1+√5)/2 + 10⁻²¹。

你没看错。改进量大约是10⁻²¹——小数点后面20个零，然后一个1。

但重点在指数。

Ramsey数按指数增长，底数哪怕只加0.000000000000000000001，当k趋向无穷，新下界会把旧下界甩到宇宙尽头。

近80年来没有任何人动过这个底数。

而他们不只是把数字往上推了一点，他们还证明了Erdős的硬币并非最优着色方案。

随机球图在结构上严格优于纯随机着色，这意味着概率方法的天花板远没有到。

这是该方向自Erdős以来的首次指数级改进，也是第一次有人给出一条超越硬币的路径。

不过这条路径有一个明确的边界：它只在蓝色团大于红色团时有效。

当两种颜色的禁忌团一样大，也就是Erdős最初关注的对角线情形，新方法的收益会消失。

整个圈子炸了