一个比黎曼猜想“重要得多”的猜想超级侧位6704博客

读者看到这个题目，会觉得这个人标题党的嫌疑简直是太明显了：黎曼猜想作为一个数学上的猜想，是最重要的未经证明的猜想，这是众所周知、人人承认的说法。你这个人何德何能，竟然说出有比黎曼猜想还要重要的猜想？

虽然我的这个说法有点耸人听闻，但且听我慢慢道来，看看有没有几分道理？

我们知道，有不少数学上的大猜想，比如被德利涅证明的韦伊猜想；被法尔廷斯证明的莫德尔猜想；为怀尔斯证明的费马猜想；被沃沃斯基证明的布洛赫-加藤猜想；被拉福格证明的函数域朗兰茨对偶；以及舒尔茨以完美状空间和凝聚态数学证明的一些猜想——它们作为历史上的坚硬的、难以攻破的目标，长期以来人们对此束手无策，无法可想，然而后来纷纷得到了证明，那么原因在哪里呢？

它的原因就在于，格罗滕迪克将范畴论引入了数学，建立了现代的代数几何体系，并且创立了拓扑斯概念和理论。以上那些大猜想的证明无不建立在格罗滕迪克的这些理论之上。因此很多问题和猜想的证明与解决，缺的不是某个数学家的聪明或是灵机一动，最重要的是缺了能够达到这些证明目标的理论基础，它们还处于空白状态。当数学理论基础建立起来之后，这些问题就一个一个被解决，仿佛被淹没在大海中的孤岛。

这种情况，用格罗滕迪克自己的话来说，最形象生动。在《收获与播种》中，格罗滕迪克写道：“那个需要被认识的未知事物，在我眼中像是一片密实的土地或泥灰宕，难以被穿透。……大海的方式。大海悄无声息地推进，没有任何东西被打破，没有任何东西移动，水是如此遥远，几乎听不到它的声音……然而，它最终会包围那顽固的物质，后者逐渐变成半岛，然后变成岛屿，最后变成小岛，最终被淹没，仿佛它最终溶解在无边无际的海洋中……”

读者诸君读到这里，应当明白我的意思了。格罗滕迪克的代数几何与拓扑斯理论建立起来之后，他的这些理论仿佛是数学的大海，而那些有待解决的猜想和问题就是大海中的一些孤岛。当大海潮水汹涌，势不可挡的时候，那些小岛将会一个一个的淹没，融化在大海之中，仿佛毫不费力。

那么所有这些猜想之中，最难以证明、最坚硬的、最令人无法可想的就是黎曼猜想了。虽然历史上有人或多或少逼近了这个猜想，但是离它主要的证明还是遥遥无期，仿佛天上的一颗星，地上的人手永远达不到。这么多年以来，试图证明他的大数学家数不胜数，然而都无功而返。它也成了大数学家阿迪亚晚年的滑铁卢。这说明了黎曼猜想这座岛屿，它是很高的，并且是很坚硬，普通的海水和潮水，对之无可奈何。那么我们需要更加广阔、更加浩瀚的大海，才有可能将这座难以摧毁的岛屿融化在其中。

从贝茨和多兰的范畴论元素周期表，以及现代的无穷范畴论的发展中，我们可以看到，格罗滕迪克用范畴论改造数学，他的范畴论是经典的范畴论，也就是（1，1）范畴，他的拓扑斯理论也是（1，1）拓扑斯。而他的这些理论已经超越了集合论，集合论在这个体系里面是（0，0）范畴。由于克罗滕迪克的理论远远地超越了集合论，所以原来在集合论领域里面的那些猜想，人们怎样都无法攻克，而到了格罗滕迪克的这片理论海洋里就一大批被淹没了，被攻克了。但是黎曼猜想，也许在格罗滕迪克的这片理论大海里还在高高耸立，这片海水对它还无可奈何。那么我们是否能够想办法得到一片更加广阔的海域，它的冲击力无可阻挡，连黎曼猜想在它面前也终将坚持不住，最终被解决呢？

是有可能的，就是现在人们猜想存在着一个数学上的终极理论：（∞，∞）拓扑斯。我们知道，集合论对应布尔拓扑斯，经典范畴论对应（1，1）拓扑斯，而卢里的无穷拓扑斯是（∞，1）拓扑斯；当把1加以推广变为2、3、4……n的时候，那么就变为了（∞，n）拓扑斯，这个推广的极限就是（∞，∞）拓扑斯。当最后这个无穷拓扑斯能够被人们定义并发展出相应的理论的时候，前面所有的拓扑斯，都将是它的截段或是它的理论的一部分。它将包含无比广阔的和深刻的数学体系，是目前人们能够想到的数学的终极理论。

但是这个（∞，∞）拓扑斯，在目前的主流数学里，偶尔也会被人们提到，但还没有一个明确的提法，还不是数学界主流的议题。更加谈不上有一个正确的定义和由此得到的完整的终极理论了。这些就像黎曼猜想一样，也只是一种设想，一种猜想。但是，如果这个理论能够做出来，我们类比于格罗滕迪克发展出的理论之后，能够解决很多的数学问题；那么这个所谓的终极拓扑斯，终极的数学理论，发展出来之后，黎曼猜想也许就变为其中一个微不足道的小问题，将轻易的被解决。并且贝茨与多兰范畴论元素周期表中无穷无尽的空白，将被一个终极性的理论所覆盖、所完善。

目前在这个方向上也有一些前沿的，顶尖的，很小众的数学家在思考在探索；但在原则上，它的难度比起黎曼猜想来，只会更高、更基本、更难以解决。这让我想起在“知乎”上有人提出：一个人怎样做才能够得到比牛顿在科学上的地位还要伟大的地位？如果给我来回答，就是：你去把这个（∞，∞)拓扑斯理论发展出来！那么你不但超过牛顿，你也超过了一切科学家的总和！哈哈，这个前途还是有一定的可能的，虽然它不像黎曼猜想那么明确，那么大众化，那么众所周知。