法尔廷斯的研究成果——面向非数学专业读者问微知扩

数字，数学中最基本的对象。你可以对它们进行加法、乘法或者任意次方 （平方、立方或更高次幂）。你在学校里已经学过这些运算的所有基本规则。

数论是数学最古老的分支之一。早在公元3世纪，一位名叫亚历山大的丢番图（Diophantus of Alexandria）的数学家提出了一些至今仍让数学家们头疼不已 的问题。因为虽然数字在加减乘除时的运算规则看起来很简单，但当你开始将乘法和加法混合在一起时，数字就会变得非常神秘。

亚历山大的丢番图手稿，由希腊语译为拉丁语。

丢番图方程包含多个未知变量（如a, b, x, y等），其解可以用整数来表示。

勾股定理就是一个丢番图方程：a² + b² = c²。满足该方程的整数解 a, b, c 被称为勾股数。这样的解有无穷多个，从 3, 4, 5 开始。

但如果不是对 a, b,c 平方而是立方呢？这就不那么容易解决了。事实上，费马大定理指出，当 n 大于 2 时，方程 aⁿ + bⁿ = cⁿ 没有丢番图解。

皮埃尔・德・费马（1607 — 1665）

果然，数百年来，没有人能够找到 n 为 3 或更大时（即方程次数为 3 或更高）的整数解。包括欧拉（Euler）、索菲·热尔曼（Sophie Germain）、狄利克雷（Dirichlet）和勒让德（Legendre）在内的多位数学家，只能在特定情况下 证明了费马的正确性。但从 1637 年一直到 1995 年，才由阿贝尔奖得主安德鲁·怀尔斯（Andrew Wiles）证明，对于任何大于 2 的 n，都不存在这样的解。

安德鲁·怀尔斯（2016 年阿贝尔奖得主）

数学家理解数字更深层规律的一种方法，是把它们表示为几何图形，这一领域称为算术几何。

通过将方程转化为函数并将其解绘制为坐标点，方程可以被表示为点的集合。因此，方程 x² + y² − 1 = 0 可以被表示为 f(x,y) = x² + y² − 1，然后我们研究该函数等于 0 的位置，即 f(x,y) = 0。

如果我们把它画在一张纸上，就会得到一个圆。它经过 x = 1 或 -1 且 y = 0 的点，以及 x = 0 且 y = 1 或 -1 的点。这个圆上的任何一点都给出了满足方程的 x 和 y 值，但那四个整数解是显而易见的，或者用数学家的话说，是平凡的。而且，它们是仅有的整数解。

f(x,y) = x² + y² − 1 的图像

但是，我们可以找到无穷多个满足该方程的有理数 x 和 y。例如，x=3/5 (0.6) 和 y=4/5 (0.8) 就是一个解。事实上，只要你愿意让分子和分母足够大，这条 曲线上就有无穷多个有理点。

它们被称为有理数，并不是因为它们表现得理智，而是因为它们可以被表示为两个整数的比，也就是分数。

但这条曲线上更多的点是无理数。之所以这样称呼，是因为它们不能被表示为两个整数的比。尽管当分母足够大时，你可以用分数来近似它们。这就是丢番图逼近。

如果这听起来很奇怪，可以想想无理数 π：它的真实值无法用分数表示，但在实际应用中，我们可以用 22/7 或 3.142（3142/1000）来近似。如果我们想要 更接近真实值，分子和分母就需要变得更大，例如104348/33215。

因此方程 x² + y² − 1 = 0 有整数解、有理数解和无理数解。

但如果把幂改为 3，方程 x³ + y³ − 1 = 0 就没有正的有理数解了。

涉及乘法和加法的复杂方程可以被表示为数域中的曲线。域是一组数字的集合，并包含了对这些数字进行加法、乘法以及排序时应当遵守的行为规则。例如，数域 Q 包含所有有理数（Q 代表商）。复数（包括 i，即 -1 的平方根）构成数域 C。

多项式方程包含同一变量的不同幂，例如 x³ + 3x² − x + 1 = 0。幂越高，方程的次数就越高。根据次数我们可以确定亏格，它告诉我们曲线上会有多少个“洞”。

椭圆曲线由三次方程给出，例如 y² = x³ + ax + b，因此它们的次数是 3。这意味着它们属于亏格为 1 的情形。对应函数 f(x,y,z) = y²z − x³ − axz² − bz³ 所定义的曲线 f(x,y,z)=0 有一个“洞”。安德鲁·怀尔斯在证明费马大定理时使用了椭圆曲线。

路易斯·J·莫德尔（1888 - 1972）

1922 年，路易斯·J·莫德尔（Louis J. Mordell）证明了椭圆曲线上的有理点是由一个有限的点集生成的，并且这些点的行为是可预测的。事实上，这些有理点构成了一个阿贝尔群，正如尼尔斯·亨里克·阿贝尔（Niels Henrik Abel）所发现的那样。他的研究成果持续不断地被证明是诸多伟大数学思想的核心所在，而阿贝尔奖正是以他的名字命名。

尼尔斯·亨里克·阿贝尔（1802 - 1829）

那么，对于亏格为 2 或更高，即由更高次方程描述的曲线呢？遗憾的是，它们并不遵循如此简单直接的规则。

莫德尔曾猜想，这类曲线只有有限多个有理点，但他无法证明这一点。

1983 年，格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings）证明了沙法列维奇（Shafarevitch） 和泰特（Tate）关于曲线有限性的相关猜想。正如帕尔申（Parshin）之前所预言的那样，这也证明了莫德尔猜想，这一结果现在被称为法尔廷斯定理。

格尔德·法尔廷斯（2026 年阿贝尔奖得主）

法尔廷斯的方法让许多人感到惊讶，因为他没有使用丢番图逼近，而是借鉴了泰特、帕尔申和斯皮罗（Szpiro）的思想，利用代数曲线的分类，发展了算术几何的方法。

他还完善了一个用来衡量有理数复杂程度的量，称为“高度”，大致来说，就是能够精确表示该数字的分子或分母的最小位数。严格来说，法尔廷斯定理表明，在某一有界的法尔廷斯高度下，高次曲线只包含有限个有理点。

（译者注：此处表述不够严谨。法尔廷斯高度是衡量代数簇复杂度的工具，用于证明过程，并非简单地设定一个高度上界来限制有理点。）

后来，保罗·沃伊塔（Paul Vojta）确实利用丢番图逼近给出了一个新的证明，这也为法尔廷斯提供了新的研究方向。他利用这些新工具建立了法尔廷斯乘积定理，随后又利用该定理证明了关于有理点分布的莫德尔-朗猜想（Mordell-Lang conjecture）。

法尔廷斯在算术几何领域的研究，持续解决着长期悬而未决的问题，并为几何学与数论的统一建立了新的框架。