广中平祐：保持饥渴才能持续创造返朴
日本着名数学家广中平祐（Heisuke Hironaka）于2026年3月18日逝世，享年94岁。广中平祐是20世纪代数几何的先驱之一，最着名的贡献是1964年部分解决了代数簇的奇点解消问题——他证明在零特征情形下，代数簇的奇点可以通过一系列变换被系统地“消去”，并因此获得1970年菲尔兹奖。米哈伊尔·格罗莫夫认为广中平祐在“奇点解消问题”上的贡献，是世界上最难得到的成果之一，在当今仍然无人能望其项背。
广中平祐1931年4月9日生于日本山口县，是家中15个孩子中的第7个。他成长于一个富裕的家庭，父亲经营着一家大型和服店和纺织厂。他曾立志成为钢琴演奏家和作曲家，在高中自学钢琴，但因为起步晚，最终放弃了成为职业演奏者的念头，此后一心热衷于数学。1950年，他从山口县立柳井高等学校毕业，随后进入京都大学理学部学习，其间加入秋月康夫的研究室，后来的菲尔兹奖得主森重文也曾在这里学习。
1957年，他赴哈佛大学读博，师从代数几何大师奥斯卡·扎里斯基（Oscar Zariski），专注于奇点消解问题，后于1960年获得博士学位。1962年，他在家中思考时获得关键灵感，构建出相关定理，并于1964年发表论文《在特征零的域上代数簇的奇点解消》。凭借这一成果，他成为第二位获得菲尔兹奖的日本人。1964年，他受聘为哥伦比亚大学教授；1968年起任哈佛大学教授。2008 年，广中平祐受邀成为韩国首尔国立大学教授，他的讲座深深影响了后来的菲尔兹奖得主许埈珥。广中平祐的女儿广中惠理子（Eriko Hironaka）亦为数学家，任教于佛罗里达州立大学。
除了严谨深邃的数学工作，广中平祐还积极参与数学教育工作，写过诸多关于研究和教育的随笔，展现出一位数学家独特的多维度思考。由于亲历战争时期，他对生命与“渴望”（want）有着格外深刻的体认，也影响了他后来关于创造力的思考：多次强调真正的创造源于内在的渴望，在自由的积累与逆境的触发中得以显现。从广中平祐的自传《数学与创造》中，我们可以一窥大师的风采。
奇点解消问题
漫漫人生路上，每个人都会怀揣各种梦想阔步向前。
有的人认为自己从出生到现在几乎没有过像样的梦想，但其实他们的梦想不比那些现实中拥有很多梦想的人少，只不过那些梦想随着时光的流逝还没来得及实现就消失了。
有的梦想微不足道，有的梦想宏伟远大。有的梦想不会因岁月而褪色，有的梦想在未能实现的时光中像泡沫一般消失。
有的梦想似乎能立马实现，有的梦想脱离现实，无论我们付出多少时间和汗水都无法实现。
无论怎样，梦想是一个不可思议的东西。即使无法实现，但只要你的心中仍怀有这份梦想，它就会给你带来生活的动力，使你的心灵变得富足。
我年轻时也拥有过这样的梦想。
三十年前，我在读大学三年级的时候，就下定决心走数学这条道路。我对数学中的代数几何格外感兴趣，并投入了极大的学习热情。
代数几何在百年前以意大利为中心发展起来。不过，它的起源可以追溯到法国哲学家、物理学家、数学家笛卡儿（1596-1650，解析几何的创始人）。笛卡儿发明了由 X 坐标和 Y 坐标构成的坐标轴，由此，各种各样的图形可以变换成代数方程。反过来，随着坐标系的发展，复杂的方程也可以转换为图形。代数几何学就是以解析代数方程定义的图形（代数簇）的结构为目的发展起来的。
用更加专业的术语来讲，代数几何学这门学问研究的是由有限个变量 x1 , x2 , …, xn 的有限个多项式所构成的联立方程f1(x)=f2 (x)=…=fn (x)=0。
我原本非常喜欢几何学。然而，当时的我参加了京都大学举办的代数几何学研讨班，在那里，代数几何学让我感受到了几何与代数中都没有的乐趣。
我第一次在京都大学研讨班上接触这个课题——奇点解消问题。当时，数学界并不是没有奇点解消的理论。虽然任何维度的图形都会产生奇点，但维度小于四的图形中的奇点，其解消理论早已诞生。
然而，当时的理论还不足以称为定理。人们普遍认为这个定理可能要很久之后才会出现，甚至怀疑是否真的存在这样的理论。之所以这么说，是因为三维图形的奇点解消理论给人留下一种很别扭的印象，总之十分费解，让人觉得没有比它更难的东西了。
三维图形的奇点解消理论已经如此深奥，那么四维以上图形的奇点解消理论就更加遥不可及了吧。我想这是参加研讨班的同学们的共识，也是全世界数学家们的真实想法。这是一个从未有人解决过也没人能解决的世界难题。
换一种稍带神秘色彩的说法解释奇点解消定理，那就是它是一种解析物体本身与其影子之间关系的理论。
用过山车轨道的例子来说明，就是该定理用于证明没有奇点的过山车轨道本身与具有奇点的过山车轨道影子之间的关系。一旦发现这样的定理，就能彻底消除奇点，所有影子就会与其本身如出一辙。
当时的我尚未拥有十分精湛的数学技能，也并非天赋异禀之人，所以压根没想着去挑战这个问题。
十年后，也就是1962 年我完成论文《在特征零的域上代数簇的奇点解消》，并于 1964 年在美国的《数学年刊》（Annals of Mathematics）上发表。作为 20 世纪的数学定理之一，这个奇点解消定理应用广泛，得到了很高的评价。
我用一个例子来解释一下这个问题。
假设要建设一条连接东京和大坂的高速公路，路线中间会绕琵琶湖一圈。然而，按照这种施工要求去建设会在某地形成一个交叉点，所以我们无法在平面上建成一条没有交叉点的高速公路。这个交叉点就是奇点。那么我们要如何消除奇点呢？
绕湖一周的道路只要采用立体交叉的方式建造就可以了。也就是说，只要增加一个高度就能解决问题。在数学领域中，这种做法叫增加参数。在平面户型图中，一楼和二楼的厕所错综复杂地重迭在一起，让人难以区分清楚，但若加入高度这个参数，则变得一目了然。
虽然通过增加高度这个参数消除了道路本身的交叉点，但是上下两段路落在地上的影子仍然存在交叉的地方。也就是说，尽管道路本身没有奇点，但是它们的影子中依然存在奇点。那么，该如何消除影子中的奇点呢？这就需要不断增加或减少参数。
这只是平面中存在的奇点问题，令人棘手的是任何维度的图形中都会产生奇点。奇点解消的目标就是消除任意维度的图形中产生的奇点，并证明能实现这一目的的理论。
所有现象都可以用图来表示，经济现象也是如此。如今经济发展日新月异，表现出的经济现象涉及多个方面，需要分析的参数也随之增加，用于阐明复杂的经济现象而制作的图也成了多维的。如果用一张图来表示所有的经济现象，那么复杂的图形中会出现很多交叉的或突出的奇点。在这种高维的图中，如果我们对其中产生的奇点置之不理，在分析现象时就会很难进行计算，普通定律根本不奏效。在这种情况下，如果能用奇点解消定理将其转换成没有奇点的图，不仅计算会变得简单，方程也会变得容易处理。错综复杂的经济现象通过若干图表的简单组合就能清晰地呈现出问题的内容了。
这就是奇点解消定理的应用示例之一。
最开始这个问题被无数人否定，包括当时是法国数学界的代表人物之一克劳德·夏瓦雷。
但是在法国的韦伊（A.Weil）和塞尔（J.-P.Serre），美国的扎里斯基（O.Zariski）等多位数学大师的的鼓励下，我终于突破最后一道防线，找到了解决问题的大方向。
我的研究目标是创造一个可以解决任意维数奇点解消问题的理论。
我秉持坚韧不拔的信念，经过多次挑战和不懈努力，终于用不同于扎里斯基教授的方法解决了任意维数的奇点解消问题。并在1970年获得了菲尔兹奖。
人活着就要学习，学习充满乐趣；人活着还要有所创造，创造的过程中蕴藏着在学习阶段无法体会到的惊喜。它适用于任何人的人生，做学术的人更应该铭记于心。
换句话说，我认为学术界中学习的乐趣和创造的乐趣就是思考的乐趣。无论什么领域的学问，唯有获取新的发现，有所创造，才会有它存在的意义。学问只有在“发现”和“创造”中才会产生意义。
机械地输入输出知识不会产生学问，也不值得我们对其进行评价。各种各样的知识是思考的资料，而读书则向人们提供思考的契机。
有了这样的思想准备，知识积累起来就会变得意外轻松，读书也不再是一件苦差事。思考时用耳朵听、用身体感受、用眼睛阅读，思考后忘掉此前的所见所闻也无妨。倘若以“不能遗忘”的标准来要求自己，那么在真正做学问前就会身心俱疲，没有动力去学习了。做学问原本就没有那么难，喜欢思考的人都可以做学问，都能体会到其中的乐趣。
