重塑算术几何的数学家，获得2026阿贝尔赛先生

因在算术几何中引入了强大的工具，并解决了莫德尔和朗长期存在的丢番图猜想，德国数学家格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings）被授予2026年阿贝尔奖。这被认为是数学界的最高成就奖，也被称为数学界的诺贝尔奖。值得注意的是，法尔廷斯也曾在1986年获得菲尔兹奖。

德国数学家格尔德·法尔廷斯获得2026年阿贝尔奖。图源：维基百科

格尔德·法尔廷斯（Gerd Faltings）于1954年出生于西德。中学时期，他曾获得一项全国性的数学奖项；在获得博士学位后，他又曾在哈佛大学担任一年研究员。

法尔廷斯在2024年说：“我最初的目标是拿到终身教职，这样我就能靠数学谋生了。”

今天，挪威科学和文学学院决定将2026年阿贝尔奖授予法尔廷斯，以表彰他为算术几何引入了强有力的工具，并解决了与莫德尔与朗相关的长期悬而未决的丢番图猜想。阿贝尔奖有时也被称为数学界的诺贝尔奖。

格尔德·法尔廷斯是算术几何领域一位举足轻重的人物。他的思想与成果重塑了这一领域。他不仅解决了多项长期悬而未决的重要猜想，还建立了新的理论框架，引领了此后数十年的研究工作。他卓越的成就将几何视角与算术视角融为一体，充分体现了对深层结构性的洞察力所具有的力量。（图/Peter Badge/Typos1/The Abel Prize 2026）

数字——数学最基本的构件。它们可以相加、相乘，也可以与自身相乘（平方），还可以重复任意多次地相乘（如立方，或者更高次幂）。我们在学校里就学过做这些运算的所有基本规则。

数论是数学中最古老的分支之一。早在公元3世纪，一位名叫丢番图的数学家就提出了一些直到今日仍然让数学家们头疼不已的问题。这是因为，虽然数字在加、减、乘、除时所遵循的规则看起来简单，但一旦把乘法和加法混合起来，就会变得非常神秘。

亚历山大的丢番图手稿（1621年版本）。（图/Public Domain/Commons Wikipedia）

丢番图方程含有一个以上的未知变量（通常用 a、b、x、y 等来表示），以及可以表示为整数的解。毕达哥拉斯定理（勾股定理）就是一个丢番图方程：a² + b² = c²。a、b 和 c 的整数解被称为毕达哥拉斯三元数组。这样的三元数组有无穷多个，其中最经典的一组是3、4、5。

边长为 3、4、5 的毕达哥拉斯定理示意图。（图/Timandra Harkness）

但是，如果不是a、b、c的平方，而是立方呢？求解起来就没那么容易了。事实上，费马大定理说的就是：当n大于2时，方程 aⁿ + bⁿ = cⁿ不存在丢番图解。

果然，在数百年间，没人找到过任何当n大于等于3时（也就是方程次数为3或更高时）的整数解。包括欧拉、索菲·热尔曼、狄利克雷和勒让德在内的多位数学家，都曾分别在一些特定情形下证明费马是对的。但从1637年到1995年，整整跨越了数百年，安德鲁·怀尔斯才最终证明：对于任何大于2的n，这样的解都不存在。

一种被数学家用来理解数字的更深层规律的方式，是把它们表示成几何形状。这就是算术几何的领域。

方程可以表示为点的集合：方法是把方程写成函数，再把它的解画成坐标点。例如，方程 x² + y² - 1 = 0，可以写成 f(x,y) = x² + y² - 1，然后研究这个函数在什么地方等于零，也就是研究 f(x,y) = 0。

如果把它画在一张平面纸上，就会得到一个圆，它经过的点有：x = 1 或 -1 且 y = 0，以及 x = 0 且 y = 1 或 -1。

f(x,y) = x² + y² − 1 的图形。

这个圆上的任意一点，都给出了满足该方程的一组 x、y 值；不过，这四组整数解是显而易见的，用数学家的话来说，就是“平凡解”。而且，它们也是唯一的整数解。