MIT教授：青年数学家的AI使用指南

在数学研究中使用人工智能，既可能非常富有成效，也可能适得其反。下面我针对刚开始从事研究的数学家（主要是本科生和研究生），就这一主题提供一些建议。¹ 1. 主要原则数学研究者对生成式人工智能（Chat-GPT、Claude、Gemini 等，亦称大语言模型）的态度五花八门，有人出于伦理原因或怀疑态度而抵制，也有人欢欣鼓舞或担心自己变得无关紧要。但人工智能如今已是房间里的大象，他们再也无法忽视。我提出以下理念：我们应该充分利用人工智能，以便了解更多数学知识。由此引出在数学研究中使用人工智能的主要原则：在与人工智能讨论任何数学内容时，你必须随时跟进其中的数学。这意味着，如果你在论文中使用了人工智能的输出，你必须彻底核实并理解每一个细节，不放过任何疑点，并以自己的方式重写，而不是将其复制粘贴到你的文稿中。而且，你必须能够当场解释清楚你写下的所有内容。这样做至少有两个原因。首先，人工智能模型可能会产生幻觉，编造出看似合理但错误且具有误导性的内容。虽然它们能正确解决困难的数学问题，但也可能基于荒谬至极（但常常是隐性且隐蔽的）的假设（例如所有奇数都是素数）给出错误的论证。这种情况虽在逐步改善，但目前仍然存在，并可能给你的论文带来致命缺陷！

然而，无论错误多么细微，一旦出现在你的文稿中，责任都在于你。因此，你必须以非常批判的态度对待所有人工智能输出。即使这些输出大体正确，通常也很难挑出所有细微的瑕疵和不精确之处，并将其顺畅地融入你的叙述。所以，自己动手写作通常比调试人工智能生成的文本更高效、更可靠。其次（也是最重要的），我们的目标是让你学习、享受并亲自去做数学。如果你把这些功能都交给人工智能，那就违背了这一目标！ 2. 通用建议 1. 模型与模式的选择。对于严肃的数学问题，最好使用强大的AI版本。也就是说，你应该始终使用推理/扩展思维模式，而不是普通的“即时”模式，并要求给出详细、可验证的解答，包括引理、示例以及可能的失败点。对于最困难的问题，你可能需要使用专业版模式。这可能会消耗更多代币，但往往能产生更好的结果。但务必确保你的提示词表述清晰——专业版查询很昂贵！你可以先使用较弱的模式，让AI复述一遍你的问题，以确保它正确理解了你的意思。 2. 提示词。在提示词前加上一句“我是一名正在研究X的数学专业本科生/研究生”或许是个好主意，或者将其设为你的默认系统提示（在特定项目中被自动考虑的消息）。这能让AI模型了解你的经验水平，从而更好地为你服务。你还可以在这条消息中添加关于你自己的各种信息（例如你读过的书和上过的数学课程）。在提示词中加入“非常仔细地检查你的答案/证明”这样的句子也很有帮助。AI模型天生倾向于偷工减料（以节省资源），你的任务就是不要让它们以牺牲你的利益为代价这样做！ 3. 迭代。经验表明，如果你向AI提出一个困难的数学问题，单次对话通常是不够的。你应该仔细研究输出，指出错误，并要求AI对你最感兴趣的点进行澄清或详细阐述。有用的结果往往只有在经过几轮这样的迭代之后才能产生。而且，不要只是盯着屏幕等待AI回应——你可以在等待的同时做其他事情，尤其是你自己的数学研究！ 4. LaTeX。 AI模型非常熟悉LaTeX，所以你可以向它们询问任何LaTeX相关问题，或者让它们调试你的LaTeX文件。你也可以要求它们以LaTeX文件的形式给出任何输出，以便于阅读。 5. 隐私。最后但同样重要的是，未经所有者许可，你不应将任何非公开材料上传到AI系统中。此外，在上传非公开数据之前，请检查平台的数据控制设置和政策；例如，在公共ChatGPT中，用户可以关闭“为所有人改进模型”的设置，这样数据就不会用于训练。 3. 学习学习应该贯穿于你的整个项目过程：数学家只要还在做数学，就会一直学习数学。学习包括掌握书籍和论文中的理论材料以及做练习题。虽然一些资料和练习题可能由你的导师提供，但你可以向AI索取更多。例如，你可以使用以下提示词： 1. “学习Y最好的资料有哪些？” 2. “关于以下问题目前已知什么？（精确阐述问题）有没有参考文献？” 3. “我正在阅读B（上传文件），在第N页，我难以理解定理Z的证明。你能更详细地给我解释一下这个证明吗？” 4. “你能给我讲解一下T的基础知识，并提供一些练习题吗？” 5. “概念A的动机是什么？” 6. “P和Q之间有什么关联？” 7. “你能解释一下R的主要思想吗？” 另一方面，使用AI来解决你的导师布置的练习题是一个坏主意。这些练习题旨在让你获得研究所需的技术技能。想想一个想跑马拉松的运动员，却用摩托车来训练！

无论如何，在大多数学习环境中，试图将AI输出当作自己的练习解答提交，或者因为你重写了AI的解答而没有充分理解，导致无法解释自己的解答，这些都构成对AI的不当使用，并将被视为违反学术诚信。 4. 研究在研究过程中，有许多利用AI的好方法，只要你遵循“随时跟进”的原则，在论文和报告中承认任何重大的AI贡献，并遵守隐私规则（需符合导师期望、合著者同意以及期刊和机构政策）。具体来说，你可以使用AI来产生研究问题、生成数据和示例、进行头脑风暴、尝试验证某个陈述以通向证明或反例，以及帮助你写作和校对。以下是一些提示。 4.1. 产生研究问题你可以使用AI在你的项目范围内产生研究问题。一个好方法是，将你的项目描述、最相关的论文以及你到目前为止的文稿上传给AI模型，并使用如下提示词： “非常仔细地阅读所附的项目描述、论文和我的文本，并提出N个下一步要考虑的研究问题。对于每个问题，解释其动机，提出初步步骤，并提供参考文献。” 为此，你需要使用最强大的模式（专业版），这样AI会思考一段时间（可能长达20分钟或更久）。虽然AI提出的许多问题可能并不好，但其中一些可能会变得很有趣！然而，你可能难以判断哪些问题是好的。因此，在尝试这些问题中的任何一个之前，最好先问问你的导师、顾问或该领域的其他专家。至少，在研究任何问题之前，你应该进行文献检索（可以按照前一节的解释，利用AI高效完成），以确定该问题是否已在文献中得到解决。 4.2. 头脑风暴你也可以使用AI进行头脑风暴，为你的项目进展寻求思路。你可以使用如下提示词： “我正在解决以下问题。（精确阐述问题或附加包含问题的文件）以下是我的一些见解。（分享你自己的思路）我的哪些想法最有希望？你能提出下一步该如何进行的建议吗？你能指出这些数据中的任何模式吗？你能找到有用的参考文献吗？” 然后研究输出，看看是否包含任何好想法，可以按照上述说明进行多次迭代。与你的导师或合作者讨论，然后重复。最终它可能会产生一些有用的东西！ 4.3. 生成数据与示例（由安德鲁·萨瑟兰提供）像Claude、Chat-GPT或Gemini这样的前沿模型现在非常擅长生成数据和分析数据。在研究项目的早期阶段，你能做的最有用的事情之一就是思考生成示例的方法，这既有助于建立直觉，也是发展和测试猜想的一种方式。即使是非常抽象的问题，也常常有可以具体化的特例或推论。过去，搞清楚如何做到这一点、编写代码、测试、优化并运行它，这本身可能就是一个完整的研究项目，但现在像Claude Opus 4.7和GPT-5.5 Pro这样的模型已经能够做到这一点。在此过程中发生的交互非常有教育意义（试图向模型解释你想让它做什么，这有助于你更好地理解问题，并且你会在这个过程中学到东西）。 4.4. 证明与证伪你可以使用强大版本的AI来证明或证伪数学命题。然而，这需要谨慎操作。AI模型通常擅长总结已知材料和模仿成熟的论证，但不太擅长产生真正原创的数学。当被要求做后者时，它们常常会产生幻觉。这就是为什么任何声称证明或证伪了先前未知状态命题的AI输出，都应该持极大的保留态度。一个危险是，你可能不是在做数学，而是陷入检查那些看似流畅实则漏洞百出的AI生成论证的泥潭。为了避免这种情况，与其立即阅读AI的输出，不如先将其输入另一个（或同一个）AI模型，并说：“这个关于陈述Y的证明是AI给我的。我持怀疑态度。你能检查一下吗？” 很可能会，第二个AI模型会发现错误。然后你可以将回复反馈给第一个模型，并持续迭代，直到过程收敛——要么第一个模型承认它没有证明，要么两个模型都同意证明是正确的。在后一种情况下，你可以尝试自己检查它（如果你愿意，可以先让第三个AI模型检查一遍）。通过这种方式，你可以避免浪费时间阅读低质量的AI输出。² 但请注意，两个或三个模型之间的一致性本身并不能有力证明正确性，因为模型可能共享训练数据、错误类型和合理性偏差。像往常一样，如果你难以理解证明中的某一步，可以要求AI详细说明。但最终，你应该写出自己的证明！让AI模型先（或者至少同时）处理一个具体例子，而不是直接处理一般情况，这可能会有所帮助。这样输出更有用，也更容易让你检查。随着时间的推移，你应该能培养出一些直觉，知道什么时候相对安全可以相信AI，什么时候不那么安全。但无论如何，时刻保持警惕！记住，AI极善于欺骗人类！如前一小节所述，你也可以让AI进行计算，但对于严肃的计算，最好自己用Mathematica、Sage等工具运行代码。不过，你可以让足够强大的AI版本（例如Claude Code）来编写代码（可能在与其讨论后，由它提出算法思路）。当然，代码可能包含错误，但你可以通过几次迭代来调试；这可能比自己编写更快。要求AI在代码中补充注释，说明每个部分的功能，这也是一个好习惯；这将使你更容易检查代码是否正常工作。警告。你应该仔细检查AI生成论证中使用的所有参考文献。记住，AI可能会生成不存在的参考文献，引用已有文献中不存在的陈述，或者误解所读论文的主张。还要记住，许多文章，尤其是旧文章，都处于付费墙后面，AI无法访问全文。在这种情况下，AI可能会根据摘要或其他来源对其内容做出假设，这可能导致误解。你的导师或顾问应该能够帮助你理清这些问题。备注（由安德鲁·萨瑟兰提供）：在现阶段，AI在证伪猜想方面通常比证明猜想更擅长，但这仍然非常有用！生成反例是其中一种方法，但这在更广泛的意义上也是成立的，包括在形式化环境中，正如塔利亚·林格最近关于AlphaProof的文章中所指出的：https://www.nature.com/articles/d41586-025-03585-5 4.5. 形式化验证（由安德鲁·萨瑟兰提供）在可行的情况下（这在很大程度上取决于你所研究课题在MathLib中的覆盖程度），可以考虑让LLM尝试用Lean形式化并验证某个命题。如果该命题相当简单，大多数前沿模型都足够了解Lean，能够编写一个脚本，你可以将其复制粘贴到在线验证器中，如https://live.lean-lang.org/ 或 https://axle.axiommath.ai/verify_proof。但对于更复杂的内容，给LLM提供一些额外的工具会很有帮助（例如一个“技能”文件，如https://github.com/cameronfreer/lean4-skills，以及一个像lean-lsp-mcp https://github.com/oOo0oOo/lean-lsp-mcp这样的接口）。还有一些第三方的自动形式化工具，如AlphaProof, Aristotle, AxiomProver, Gauss, Godel-Prover, Kimina-Prover...，其中许多可以免费使用。 ² 我从杰西·吉纳森那里学到了这个技巧。备注 4.1： (1) LLM使得那些从未使用过Lean或形式化定理证明器的人，能够以一年前还不可能的方式利用形式化验证。 (2) 对于第(1)点，有一个重要的警告：你需要确保LLM正确形式化了你关心的命题。这需要对形式化系统有一定的理解（但远少于编写证明所需的理解）。 4.6. 协作 vs. 依赖虽然AI在你的研究中可以非常有帮助，但要获得好的结果，你应该与AI一起思考问题（这与“随时跟进”的原则一致），而不是仅仅看着AI为你做研究。换句话说，你应该将AI视为一个强大的工具，或者一个（并不总是可靠的）数字合作者，它拥有你自身所缺乏的知识和能力，并与它一起工作以充分利用这些优势，而不是将整个过程完全交给AI。与问题的斗争是研究过程中至关重要的一部分，而使用AI可能会跳过这一环节。这是发展突破所需的理解和直觉的唯一途径。你的经验越少，这一点就越重要！对于刚开始研究的人来说，一个好习惯是在让AI解决问题之前先自己尝试，或者先向AI寻求提示而不是完整的解决方案。最终，目标不是让你和AI成为一台尽可能多地炮制定理的机器，而是让项目取得进展，同时让你获得做研究的训练和经验。如果你把所有事情都托付给AI，你如何发展自己的研究技能？毕竟，发现新的数学是整个事业中最有趣的部分。那么，为什么要将这个乐趣外包给一个没有灵魂的聊天机器人呢？想象一下，你去一家高级餐厅，不是品尝美味的菜肴，而是把它们放进咀嚼机里，然后吞下产生的糊状物。这能有多大乐趣呢？

5. 写作与校对在写作阶段，你可以使用AI来帮助你处理LaTeX以及图表或图片，尽管解释清楚你想要绘制的内容可能很困难。有时，更好的办法是手绘草图，用手机扫描，上传给AI，并要求它生成一个PNG文件或图表的LaTeX代码。你也可以使用AI进行校对。你可以上传你的文本并说：“这是我的论文。请非常仔细地阅读，指出拼写错误、错误、符号不匹配、英语问题等。阅读X.Y节到Z.T节。给我评论。”建议每次要求AI阅读一小部分（比如10页），这样质量可能会更高。我一直将这种方法用于我自己的文本和学生的文本，我强烈推荐它。当然，它不能取代传统的人工校对，但在人工校对之前先进行一次AI校对（然后进行修正）是很好的！ AI模型通常擅长发现拼写错误、纠正英语、找出不匹配和未定义的符号，但在发现细微的数学错误方面不那么擅长，尽管有时它们也能做到。然而，如果你希望AI认真检查你的论文，你应该要求它检查单个证明，并不断添加细节和澄清，直到它不再发现问题。但务必提示AI保持批判性，不要为了讨好你（并让它的工作变得轻松）而未经彻底检查就说证明是正确的！同时，如前所述，将大量未经润色的AI输出直接复制粘贴到你的论文中是一个坏主意。³ 你真的应该自己动手写作！另一个原因是，AI可能会在不知不觉中从别人的作品中复制内容而不加引用。因此，如果你将此输出复制粘贴到你的文本中，并以这种形式公开，这可能构成抄袭。即使你是无意中这样做的，你仍然要对此负责！

因此，即使你打算以自己的转述形式使用其输出，一个好习惯是始终要求AI列出它使用的来源，然后独立核实这些来源（通过arXiv.org、MathSciNet等），并检查对其中任何一个的引用是否恰当。此外，积极多次要求最相关的文献也是一个好主意。 ³ 在研究小组内传阅未经检查的AI输出是可以接受的，但前提是其未经核实的状态对所有参与者都是明确的。请注意，当要求校对时，默认情况下，某些LLM会倾向于自己重写你的文本，而不是给你评论。出于上述原因，这在很多方面都是非常不可取的。所以，你应该向LLM明确说明，它只需给你列出评论/修正，而不应试图为你重写文本。备注 5.1： ⁴ 虽然俗话说，在谈话中，最善于社交的数学家会看着对话者的鞋子而不是自己的鞋子，但事实上，数学本质上是一项社交活动。当我们说使用AI的目标是“了解或理解更多数学”时，实际含义是“为数学界获得理解”。从历史上看，“解决问题”一直意味着数学界已经达成了这种理解，或者至少已经发展出一条可实现的路径，随着AI的到来，这种情况没有理由改变。一个AI生成的证明就像是从外星文明向我们投射下来的启示。它缺少了将其转化为“理解数学”所需的额外工作。因此，发表该论证的人有责任为数学界完成这项工作，这意味着要将任何新思想整合到共同的知识体系中，找到解释这些思想的方法，让人们觉得它们具有启发性。这包括交换电子邮件、进行面对面讨论、做报告等等。仅仅将证明发布在arXiv上并不能做到这些！ 6. 准备报告你可以使用AI来准备你的报告幻灯片。你可以上传一篇文本，并说：“基于这篇论文，为我制作一个12分钟演讲的Beamer文件。” 你可以在提示词中加入你想涵盖的内容、每个部分希望花费多少时间等。当然，你可能需要几次迭代，并且之后需要对文件进行认真的编辑。但这可以通过制作一个合理的初稿来节省你的时间。 7. 致谢如果你出于创造性任务使用了AI，并将结果用于你的论文，那么承认这一点是一个好习惯——说明你使用了哪些模型以及它们的具体作用；事实上，许多期刊也要求这样做。即使AI在证明方面帮助了你，你仍然将获得论文成果的全部荣誉。但再次强调，不要忘记，这种全部荣誉伴随着对内容的全责！⁵ 8. 其他资源（由安德鲁·萨瑟兰提供） 1. 虽然现在有点过时，但有一个相当全面的“数学AI资源”列表，是在2023年举行的美国国家科学院研讨会期间整理的，此后又更新了几次。你可以在以下网址找到它：https://docs.google.com/document/d/1kD7H4E28656ua8jOGZ934nbH2HcBLyxcRgFDduH5iQ0。 ⁴ 我感谢保罗·塞德尔的评论。 ⁵ 有些人甚至让AI模型成为他们论文的合著者。这没有必要（而且许多期刊也不允许），因为AI的地位不同——与人类作者不同，它不对内容的正确性和原创性负责。然而，强烈建议准确解释AI完成了哪些工作。 2. 虽然它没有提供具体的技巧，但克洛登和陶哲轩最近发表的评述文章“AI时代的数学方法与人类思维”可能是有用的背景阅读材料，可以帮助你思考如何充分利用AI来了解更多的数学知识：https://arxiv.org/abs/2603.26524。 9. 一些有用链接麻省理工学院关于AI使用的指南：https://ist.mit.edu/ai-guidance 麻省理工学院关于引用AI工具的指南：https://libguides.mit.edu/cite-AI-tools 美国数学学会期刊关于使用AI的政策：https://www.ams.org/publications/journals/policies/UseofArtificialIntelligence 10. 负责任使用AI的检查清单总结一下——在学习或研究中使用AI之前，最好问问自己以下问题。 1. 理解与责任 • 我是否完全理解我从AI输出中采用的每一个数学陈述、证明、计算或示例？ • 我能否当场向我的导师、顾问、合作者或听众清晰解释？ • 我是否检查了所有定义、假设、边缘情况和隐含假设？ • 我是在使用AI来帮助我学习和做数学，而不是为了避免学习和做数学吗？ 2. 隐私与许可 • 我是否被允许将我提供给AI的材料上传？ • 如果材料属于合作者、导师、学生、期刊、会议或机构，我是否在必要时获得了许可？ • 我是否检查了我所用平台的相关数据控制设置和隐私政策？ • 如果材料敏感或非公开，我是否应该改用更私密的设置，例如机构账户、企业账户、本地模型，或者完全不用AI？ 3. 学习与练习 • 如果这是导师、顾问或讲师布置的练习，允许使用AI吗？ • 我是在寻求提示、解释或背景知识，而不是将解决方案外包出去吗？ • 如果我使用了AI生成的解释，我自己重新构建了论证过程吗？ 4. 研究思路与证明 • 我是否对AI产生的研究问题、猜想、证明和反例持怀疑态度？ • 我是否检查了该问题或结果是否已知？ • 我是否在适当时与我的导师、顾问、合作者或其他专家讨论过有希望的AI生成想法？ • 如果AI提出了一个证明，我是否自己验证了它，而不是依赖模型的自信？ • 如果另一个AI模型也同意该证明，我是否记得这仍然不能替代我自己的验证？ 5. 计算、代码与数据 • 我是否检查了代码是否做了我要求它做的事情？ • 我是否在已知答案的简单示例上测试了代码？ • 我是否检查了差一错误、遗漏情况、数值不稳定性和不正确的假设？ • 如果计算对论文很重要，我是否保存了足够的代码、数据和解释以使其可复现？ 6. 参考文献与文献检索 • 我是否要求AI列出它使用的来源？ • 我是否进行了彻底的文献检索，并检查了AI建议的论证或方法是否以前出现过？ • 我是否在原始论文、书籍、MathSciNet、zbMATH、arXiv或期刊网站上验证了AI建议的每一条参考文献？ • 我是否检查了引用的来源确实包含了所声称的定理、定义、示例或论证？ • 我是否确保了AI没有捏造参考文献、混淆两篇论文，或者在没有阅读全文的情况下仅根据摘要推断内容？ 7. 写作 • 我是否避免了将大量AI生成的文本直接复制粘贴到我的论文或报告中？ • 我是否以我自己的方式重写了任何有用的AI生成材料，并检查了其正确性？ • 我是否确保了符号、术语和风格与我文本的其余部分保持一致？ • 我是否要求AI提供评论和修正，而不是让它默默地为我重写论文？ 8. 致谢 • AI是否对项目做出了实质性的创造性贡献，例如提出研究方向、生成示例、帮助证明、编写代码或制作图表？ • 如果是这样，我是否承认了使用了哪个模型以及它用于什么目的？ • 我是否检查了期刊、会议、课程、机构或资助机构的AI政策？ • 如果有合著者，我们是否就如何披露AI的使用达成了一致？最终测试：如果我删除了AI聊天记录，我是否仍然理解、能够复现，并愿意对论文或报告中的一切承担全部责任？