对话孙鑫：数学家是如何炼成的？
导读：北京大学北京国际数学中心教授孙鑫今年受邀参加国际数学家大会，并做45分钟报告。在下面的访谈中，孙鑫回顾了自己从学习者到研究者的转变。他认为，“关键在于聚焦——不必过度纠结哪个方向最有前景，重要的是科研初期要在高水平导师的引导下专注到一个方向，坚持做下去。”
孙鑫在2026ICM报告现场
四年一届的国际数学家大会（International Congress of Mathematicians，ICM）是由国际数学联盟（IMU）主办的全球性数学学术会议。会议旨在促进高水平的学术交流，在开幕式上颁发“菲尔兹奖”等世界著名的数学大奖。会议期间，世界各地从事国际数学前沿研究的著名数学家报告他们所在领域的重大科研成果。ICM报告人身份是极高的学术荣誉，是一个数学家的工作获得国际学术界认可和关注的重要标志。
2026年7月，第30届国际数学家大会在美国费城举行。北大数学有多位教师和校友在会上作邀请报告。北京大学北京国际数学中心教授孙鑫即是其中一位。
随机几何与量子引力
Q：首先祝贺您成为ICM2026受邀报告人。这个荣誉对您来说有什么特殊意义？
A：我2007年进入北大数院，刚入学时便在一些讲座中了解到国际数学家大会，当时觉得它遥不可及。本科毕业前，我做出了一点成果，一位师兄半开玩笑地说，希望我将来能作ICM报告。那一刻，我忽然觉得这并非全无可能。因此，这次被邀请某种意义上实现了我从本科以来的一个愿望。
Q：您在ICM报告中的主要内容是什么？
A：这是与纽约大学Nina Holden的联合报告，主要基于我们在刘维尔（Liouville）量子引力方面的一系列工作，涵盖两个方向：一是刘维尔量子引力与随机平面图的联系，二是与共形场论的联系。相关会议论文已可在arXiv上查阅。
Q：随机平面图、布朗曲面（Brownian map）和刘维尔量子引力是近年来概率论和数学物理中的重要方向。您能介绍一下这个领域的发展脉络，以及您自己的主要贡献吗？
A：该方向自本世纪初兴起，可称为二维随机几何，核心对象包括随机平面图、布朗曲面与刘维尔量子引力。布朗曲面既是最自然的随机曲面模型，也与弦论、量子引力紧密相关。
这个领域最初的重要动机，是Oded Schramm在ICM报告中提出的一系列问题。后来，法国学派，特别是Le Gall和Miermont，在度量几何意义下构造了布朗曲面。再后来，我的导师Scott Sheffield构建了刘维尔量子引力的数学基础，并与Jason Miller合作证明布朗曲面与刘维尔量子引力的一个特例本质上等价。
我的贡献主要有两方面：一是与Nina Holden合作，证明随机三角剖分等随机平面图在共形嵌入后的连续极限由刘维尔量子引力描述；二是与众多合作者将Sheffield的几何框架与刘维尔共形场论紧密结合，并由此得到二维统计物理中的若干应用。
Q：您是怎样进入刘维尔量子引力和共形场论这个交叉方向的？
A：刘维尔量子引力与共形场论的联系可追溯至Polyakov在1981年关于弦论与量子引力的奠基性工作。有趣的是，Sheffield在构建刘维尔量子引力的数学理论时，并未在物理文献中寻找线索，而是从几何直观和公理化思想出发独立发展。我的博士训练完全在这一体系中完成，当时主要关注该框架内部的问题。到2019年前后，体系中的核心问题（如随机平面图与刘维尔量子引力的关系、随机度量的构造等）基本得到解决。博士后期间，我开始寻找新方向，而刘维尔量子引力与共形场论的关联逐渐展现出丰富的研究空间，我便以此为契机进入这一领域。
Q：刘维尔量子引力和共形场论在二维统计物理中有哪些应用？统计物理未来有哪些重要方向？
A：我近期的成果主要集中在二维统计物理模型的可解性方面。过去二十年中，随机几何的发展使许多基于不严格计算的物理预测得以严格证明，但也遇到了瓶颈。通过结合刘维尔量子引力、共形场论与Schramm–Loewner Evolution（SLE曲线），我们可以解决此前难以处理的问题。一个比较受关注的例子，是我与Nolin、钱玮、庄子杰合作精确求解了二维渗流模型的脊柱指数（backbone exponent）并证明它是超越数。与数学物理中“物理学家先猜想、数学家后证明”的传统模式不同，这一结果是数学家先于物理学家得出的。
至于未来，我认为至少有两个重要方向。一是二维统计物理模型尺度极限的结构性问题。目前我们已经获得许多可解性结果，但对结构性问题的理解仍较为有限。物理上认为二维统计物理与共形场论、量子可积系统、Yang–Baxter方程等数学结构存在深刻联系，现有的可解性结果只是冰山一角。另一个重要方向是具有连续群对称性的格点模型。从某种角度看，Yang–Mills问题也可归为此类问题，与之相关的还有Heisenberg模型的质量间隙等。这些问题极为重要且困难，目前正吸引越来越多概率论与数学物理领域的学者投身其中。
二维渗流模型的脊柱指数是从一个内点出发有两条不交同色臂的概率衰减幂指数。它的精确求解依赖于刘维尔共形场论和随机平面图的丰富可积性
Q：未来十年，您希望在哪些方面取得突破？
A：我最近正好被要求写一个未来十年的研究计划，当时我列了四个最想解决的问题：一是理解布朗曲面与双曲几何以及弦论的深刻联系；二是揭示二维统计物理模型的共形场论结构；三是理解二维统计物理模型与量子群、Yang–Baxter方程之间的关系；四是围绕体积猜想，研究共形场论、拓扑量子场论与双曲几何之间的联系。当然，研究要顺势而为，如果发现走不通，或者出现更好的问题，我也会自然调整。
孙鑫老师在北大课堂上
北大岁月与MIT训练
Q：回顾您的求学经历，您在北大数院时是什么契机让您对概率论和数学物理产生兴趣的？
A：我高中时对物理很感兴趣，曾考虑报考物理专业。但由于实验能力不足，甚至弄出过实验事故（笑），加之当时对各专业的整体了解有限，最终在填报志愿那一周改报数学，可以说是在懵懂的状态下来到北大数院。入学后，我起初并没有明确的研究志向，但当时普遍认为，本科毕业后出国是较好的出路，为此需要积累科研经历，于是我从大二开始参与本科生科研。
我联系了数学分析三的王正栋老师。王老师是钱敏先生的学生，而钱敏先生是中国数学物理领域的先驱和代表性人物。王老师本人对数学物理有深刻理解，他为我选定了随机矩阵这一课题。作为本科生科研题目，随机矩阵既易于入门，又能体现数学物理的精髓：兼具深刻的物理背景和优美的数学结构。跟王老师做本研的这段经历使我坚定了从事科研以及聚焦数学物理的兴趣。
此外，北大本科期间的学风也让我受益匪浅。我们2007级有浓厚的学术氛围，特别是一些有竞赛背景的同学非常活跃。我虽不是竞赛出身，但深受这种环境的熏陶。
Q：您在麻省理工学院（MIT）跟随导师Scott Sheffield学习和科研的经历，对您的学术道路有什么深刻影响？
A：Scott对我的影响主要体现在两个方面。第一是他的研究视角极具原创性。无论面对什么问题，他都从第一性原理和直觉出发进行切入。例如，他研究刘维尔量子引力时，并未依赖物理文献，而是独立发展出一整套理论。我虽然无法完全习得他那种原创思维，但掌握了他开发出的工具，并与更偏物理的框架相结合，这种新方法展现出意想不到的威力。
第二是他始终关注最根本的问题。我博士第一年选过他的一门专题课，题为“统计物理中的四个开放问题”，其中就包括Yang–Mills问题。主流概率论界对Yang–Mills问题的关注始于2015年之后，而他在2011年便已高度重视。这让我认识到，无论从事何种研究，都应尽量围绕核心问题展开。
Q：刚进入博士阶段时，您从学习者到研究者的转变遇到过哪些困难？
A：最大的困难是不知道该选什么方向。到MIT后，我既对Scott Sheffield的方向感兴趣，又想继续本研所做的随机矩阵，而随机矩阵内部又有不同流派。我每天花大量时间学习各个方向，结果身心俱疲，不得不休学一年。之后我调整了心态，专注于Scott的方向。我认为，从学习者到研究者转变的关键在于聚焦——不必过度纠结哪个方向最有前景，重要的是科研初期要在高水平导师的引导下专注到一个方向，坚持做下去。
比如刚入学时，有人劝我不要做SLE，说这个方向只剩下几个难题，没什么可做的，建议我做随机矩阵。这个观点一度对我影响很大。但后来证明，SLE在融入到随机几何后焕发出了蓬勃的生机。另一方面，我个人一度认为随机矩阵已经山穷水尽，结果近几年又出现了若干重大突破。
Q：今天的本科生在出国读博和国内保研之间有更多选择。您怎么看这个问题？
A：当年大家普遍认为，无论未来做学术还是去业界，最好的出路是出国。如今情况已大为不同。一方面，国内科研条件显著改善，尤其是北大等高校的师资不断提升，所以如果不是去国外最顶尖的学校深造，保研也许是更好的选择。另一方面，受国际局势影响，美国的吸引力在减弱，欧洲、香港、新加坡等地成为更多人的目的地。
不过，如果以学术为目标，我认为在合适的时候出去呆一段较长的时间仍然非常有益。若博士不出国，最好能在国外做一段博士后。最原创的想法往往诞生于最活跃的环境中，而不同领域最活跃的研究组可以在世界各地，年轻人在某个阶段置身其中，接触最好的问题和想法，将大有裨益。
数学中心办公院落内景
跨领域研究与数学品味
Q：近年来您的工作已经不局限于概率论，而是与共形场论、双曲几何、量子拓扑等发生联系。您如何决定进入一个新领域，并做出突破？
A：学习一个领域和在一个领域做研究是两回事。学完新领域现有知识未必能解决新问题——因为有挑战性的问题本就是已有知识难以处理的。进入新领域做研究，最重要的不是成为专家，而是了解该领域有哪些重要问题，并判断这些问题能否与自己的背景结合。这种判断力需要在科研过程中逐渐积累。
我在体积猜想方面的工作涉及量子拓扑与双曲几何，我并非这两个领域的专家，但这个问题本身表述很简单，而且其中一个关键部分恰好与刘维尔共形场论有关。我接触它时隐约觉得刘维尔共形场论的半经典极限可能会有帮助，于是开始学习。2024年夏天，我在武汉的一个会议上遇到了体积猜想方面的专家杨田，我们一拍即合，联合明爽、刘天约、吴保君等人一起攻关。结果杨田此前一些看似无关的工作恰好能帮助我们解决关心的问题。这里有运气成分，但跨领域研究的品味也起了重要作用。