数学大师们摆的一条大乌龙蒋闻铭

奥斯卡二世国王关于 N 体问题的悬赏

我们的故事始于1888年瑞典—挪威国王奥斯卡二世（King Oscar II）为求解牛顿 N 体问题而设立的一项悬赏竞赛。

为了推广刚刚创刊的数学期刊 《数学学报》（Acta Mathematica），国王的科学顾问哥斯塔·米塔格–莱夫勒（Gösta Mittag-Leffler）建议国王设立这一皇家竞赛。评奖委员会由夏尔·埃尔米特（Charles Hermite）、哥斯塔·米塔格–莱夫勒和卡尔·魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）组成。

然而，评委会无法简单地用一个模糊的目标——例如“解决 N 体问题”——来界定竞赛要求，因此，他们首先必须给出一个精确的数学标准：究竟在什么意义下，N 体问题才算被解决。这个任务最终交给了魏尔斯特拉斯。

当时，天文学和航海学都迫切需要利用 N 体问题的解来预测天体的位置。如今，计算机可以通过数值积分轻松完成这项工作；但在十九世纪，人们只能依赖幂级数解。

然而，当时得到的所有 N 体问题幂级数解都只能在有限的时间区间内收敛，而且收敛区间的大小还会随着具体解的位置而变化。因此，魏尔斯特拉斯很自然地把“解决 N 体问题”理解为：寻找一个在整个时间轴上都收敛的幂级数解。

经过仔细斟酌，这一要求最终以如下形式写入1885–1886年《数学学报》第7卷刊登的竞赛公告：

对于任意多个按照牛顿万有引力定律相互吸引的质点系统，在假设任意两个质点永远不会发生碰撞的条件下，试求一种表示方法，使每个质点的坐标都能够表示为某个时间函数变量的级数，并且该级数对于该变量的一切取值都一致收敛。

二十六年后，卡尔·孙德曼（Karl Sundman）首先为三体问题构造出了满足这一要求的幂级数解；而更晚的时候，我本人又将这一结果推广到了任意 N 体问题。

然而，无论是孙德曼还是我的级数，其收敛速度都慢得惊人，几乎没有任何实际应用价值。尤其是我的构造，虽然技巧性很强，却又出人意料地简单。

一个问题，如果最终得到的答案既巧妙、又简单，却毫无实际用途，那么它本来就不是评奖委员会应该提出的问题。

因此，这是评委会犯下的第一个数学错误。

亨利·庞加莱（Henri Poincaré）随后开始研究这一竞赛题目。

在写给米塔格–莱夫勒的一封信中，庞加莱声称，他已经证明了受限三体问题的一个稳定性定理。他写道：

在这一特殊情形下，我已经找到了一个严格的稳定性证明，并提出了一种能够对第三个天体轨道参数给出精确界限的方法……现在我希望能够进一步研究一般情形……即使无法彻底解决这一问题（对此我并不抱太大希望），至少也能够得到足够完整的成果，提交参加此次竞赛。

不久之后，庞加莱提交了论文，并获得了大奖。

他的论文由米塔格–莱夫勒和魏尔斯特拉斯共同审阅。魏尔斯特拉斯在写给米塔格–莱夫勒的评审意见中说道：

我毫不犹豫地认为，这篇论文完全配得上此次大奖。您可以告诉国王陛下，虽然它并没有真正给出我们所提出问题的完整解答，但它的重要性无可置疑，它的发表将开启天体力学历史上的一个新时代。因此，可以认为陛下设立此次竞赛的目标已经实现。

一次轰动数学界的失误

然而，很快人们便发现，庞加莱的获奖论文中包含了一个致命的数学错误，他向米塔格–莱夫勒所宣称证明的稳定性结论实际上是错误的。

后来发现，首先意识到这一致命错误的人，正是庞加莱本人。当时，《数学学报》的编辑爱德华·弗拉格曼（Edvard Phragmén）正在对论文进行校样编辑，并提出了一些问题。正是在回答这些问题的过程中，庞加莱发现了自己的证明存在根本性的漏洞。

对于评奖委员会而言，把最高奖授予一篇存在致命数学错误的论文，无疑是一件极其尴尬的事情，而米塔格–莱夫勒不得不面对这一现实。

当错误被发现时，庞加莱论文的原始版本已经印刷完成。

于是，米塔格–莱夫勒决定全部召回已经印好的期刊，并下令将所有载有原论文的印刷本全部销毁。

为了支付此次召回和销毁的费用，庞加莱本人支付了两倍于奖金数额的费用。

米塔格–莱夫勒当时确实陷入了两难境地。一方面，他必须维护《数学学报》的科学信誉和学术伦理；另一方面，又不得不尽可能控制这一事件所造成的严重影响，因为这至少已经构成了一场重大的学术尴尬。

毕竟，还有许多数学家同样投入了巨大努力参加此次竞赛，他们认为自己的工作比庞加莱的论文更应该获奖。

混沌理论的诞生

正是在努力理解自己错误所带来的数学后果时，庞加莱发现了同宿缠结（homoclinic tangles）这一重要现象，从而开创了后来影响深远的混沌理论（Chaos Theory）。

在完成修改之后，《数学学报》重新发表了庞加莱修订后的论文（见文献 [31]）。

事实证明，这篇论文确实是一部真正的数学杰作。历史的发展最终证明，它完全配得上魏尔斯特拉斯当年给予它的一切高度评价。