数学的上帝粒子：一个运算符能导出所有基本函数机器之心

仅用一个简单二元运算符加上常数 1，就能推导出现代科学计算器上的所有基本函数了？

最近，计算机科学领域被一个新研究打破了认知。

人们认为，这种能将复杂数学系统极度简化的底层突破极具革命性。该论文的作者 Andrzej Odrzywołek 来自波兰雅盖隆大学（Uniwersytet Jagielloński）。

论文标题：All elementary functions from a single operator

论文链接：https://arxiv.org/pdf/2603.21852v2

在数字电路的世界里，有一个广为人知的奇迹：NAND 门。只需要这一种双输入逻辑门，就能搭建出任何布尔电路。整个计算机的底层逻辑，全部可以由同一种基本单元堆叠而成。

1913 年 Henry Sheffer 发现的「Sheffer 竖线」，揭示了一个令人震撼的事实：看似纷繁复杂的数字逻辑世界，本质上只有一个原子。

论文作者 Andrzej Odrzywołek 尝试将繁杂的数学运算符彻底拆解，并且成功找到了数学的「上帝粒子」。

这可能是解构现有数学运算的开始。

尝试「拆解计算器」

论文的方法是：从一张标准的科学计算器功能清单出发 —— 包含 36 个原语（命名常量、一元函数和二元运算符），然后逐一进行「消融测试」：每次移除一个元素，检验剩余集合是否仍能重建所有原始功能。

这个过程并非一帆风顺。论文将缩减过程记录为一个递减序列：

Calc 3：6 个原语（取反、倒数、exp、ln、加法），首次超越了 Wolfram Language 的指令集

Calc 2：进一步缩减至 3 个原语（exp、ln、减法）

Calc 1：换了一条路，使用二元幂运算及其逆（二元对数）作为基础，需要 e 或 π 作为终端常量

Calc 0：将常数 e 吸收进 exp 函数本身，仅剩 3 个原语

每一步缩减都让「单一运算符可能存在」的猜想变得更加可信。最终，在 Calc 0 的启发下，研究者开始枚举初等二元函数作为候选单运算符，配合同样生成的常数逐一测试。

经过大量失败和若干误报之后，他找到了答案：

更令人印象深刻的是，EML 能够生成那些「不可能」的东西。虚数单位 i、圆周率 π、自然常数 e，全部可以从 EML + 1 推导出来。以 i 为例：通过 ln (-1) 在复平面上取主值得到 iπ ，再结合其他已构建的常量即可分离出 i 本身。三角函数则通过欧拉公式 图片 从复指数中自然涌现。

上图展示了完整的「系统发育树」（phylogenetic tree）：从 EML 这个「最后共同祖先」（LUCA）出发，螺旋展开，每一个箭头代表一次 EML 组合操作，逐步衍生出全部 36 个原语。粗箭头标记的是直接由 EML 和 1 构成的表达式，细箭头则依赖中间产物。

在形式语言层面，EML 表达式的文法简洁到令人难以置信：

这意味着每一个初等函数表达式，本质上都是一棵由完全相同的节点构成的满二叉树。

不同函数所需的树深度差异很大：指数函数只需深度 1，而乘法则需要深度 8。大多数常用数学函数落在深度 5–9 的区间。这种深度的参差反映了不同函数在 EML 表示下的「编码距离」。