AI如何改变数学：这位菲尔兹奖得主谈到文学与哲学

10月28日，在第十七期“浦江科学大师讲坛”现场，2002年菲尔兹奖得主、华为（法国）拉格朗日数学与计算研究中心高级专家洛朗·拉福格，以“与格罗滕迪克同行，重新审视点、函数与空间——对人工智能的一点初步思考”为题，分享他近年来借助格罗滕迪克拓扑斯理论探索新型人工智能（AI）形式的思考。 拉福格发展了德林费尔德开创的希图卡方法，证明了正特征整体函数域上任意秩GL?的朗兰兹对应；近年来，他的研究逐渐转向格罗滕迪克的拓扑斯理论，并以此为基础探索新型AI形式的构建。

洛朗·拉福格。复旦大学供图 数学不会因AI消亡 拉福格将AI视为“智力活动的工业化”。18、19世纪的工业革命时期，生产效率的提升建立在工程师对理论、对自然规律的理解之上。而今天，AI算法背后的数学原理是简单的，却依赖巨大算力，整体来看。我们始终没有一套成熟、完备的文本理论。“对于数学家来说，这一点尤其令人不满意。”他说。 在拉福格看来，大语言模型只是一种计算文本连续性概率的工具，它把各种可能性建议出来，也就是在某一词元后面出现哪个词元的概率更高或更低。因为AI学习的数据都是基于真人创造的文本，所以它无法看到或理解尚未被人类语言捕捉到的新数学现实。 这也展现了AI与数学的双向关系——数学家的文本是AI的源头，AI也会反过来改变数学被书写的方式。拉福格猜想，受AI影响，数学家的写作方式乃至研究范式或许会迎来转变，传统风格可能重新回归。 “这也是我的期许。”他认为，数学这门学科不会因AI消亡，但或许会因此重拾文学、哲学特质，也有可能诞生全新的范式。 与生活经验相通 一些听起来抽象的数学概念，其实和人们的生活经验相通。 拉福格以“覆盖”为例进行了解释。正如房屋由一块又一块的砖头覆盖、衣服由一片又一片布料覆盖，“覆盖”就是把小的零部件组合成更大的事物，我们几乎时时刻刻能体会到这个概念。 “覆盖”这一概念也蕴含在文本的自然特性中。词元连成文本，一个短文本可以不断延长成更长的文本，每一种“继续写下去”的结果，都是短文本的覆盖目标。 换言之，“覆盖”意味着没有遗漏任何文本延拓的可能性，而格罗滕迪克把“所有文本+它们之间所有延拓关系”整体打包，形成一个结构。每个文本是这个空间里的一个“点”，文本怎么从短到长，就是点与点之间的关系，这个结构就是“拓扑斯空间”。 “拓扑斯比此前数学中的一切空间概念都更宽泛，又足以分类各类结构。”拉福格强调了“以新视角看经典主题”在数学研究中的分量。 他举例表示，盖尔范德曾把空间与空间上的连续数值函数关联起来，实现从空间理论到代数理论的跨域转换；格罗滕迪克把“连续数值函数”换成“集合值连续函数”，并发现它与“集合值层”这一乍看完全不同的概念等价。 “数学概念在生活中给人以亲近感，我认为这是一个奇迹。”拉福格说。 数学的“无用之用” 如何高效学习数学？ 对于这个问题，拉福格直言没有简单的标准答案，即使如今AI功能强大，但学习数学依旧是非常传统的事，书面表达与计算实操能力格外重要。尝试解决问题时，首先应该把它写下来，就像对一个完全不了解数学的人讲解时那样，仔细、清晰、简洁、优美地写下证明过程。 拉福格特别提到，许多法国教授对中国学生评价很高，但他们也提出一点小小的遗憾：中国学生不太敢于提问，有时是因为对老师过于恭敬。 “不过近几个月我观察到一个现象，学生可以先向AI提问，AI的反馈会给学生信心，这是AI带来的积极影响。”拉福格建议学生们：多提问，哪怕提出难度很高的问题，“教授其实是会对此感到欣喜的”。 拉福格经常来中国，也多次到访不同的高校，他对中国文化有着独特的理解。拉福格常对中国学子说：“即便做数学研究，也不要忽视文学。文学在法国文化中分量很重，在中国也是如此。我相信文学素养在未来会变得愈发重要。” “我在法国的家里有一本非常珍爱的书，讲的是中国思想史。”拉福格介绍，这本书的作者程艾兰生于巴黎的一个中国家庭，曾留学复旦大学，后来在法国最负盛名的高等教育机构之一法兰西公学院教授中国思想。 对于纯数学和应用数学之间的关系，拉福格借用了一位中国数学家的比喻——它们如同黑白交融的阴阳图，二者互相渗透，你中有我、我中有你。 他进一步举例说明，在长达150年的时间里，法国数学家伽罗瓦所建立的有限域理论一直被视为极度抽象的纯数学理论，几乎看不到实际用途。可现在，随着现代信息技术的发展，该理论已成为WiFi通信的底层基础，与每个人的生活息息相关。 这也意味着，数学的应用何时到来，我们无从预知，它可能在很多年之后才释放价值。