MIT数学系教授：未来的数学

摘要人工智能的迅速发展正在改变数学研究，也让一系列关键问题摆在我们面前：人类数学家的角色是什么，应当如何培养和评价他们，他们又具有怎样的社会价值？我们认为，AI 不会让数学家变得多余，而会促使这个职业重新确定重心：从围绕优先权和论文发表记录的“所有权文化”，转向智识能动性，即深入理解、判断、远见、交流，以及对共同数学文化的维护与传承。数学家可以借助 AI 探索迅速扩展的数学世界，解释和综合 AI 生成的知识，修补现有文献并将其形式化，发展新的数学阐释与发表方式。我们建议，人才聘用和研究生教育应当更加依赖持续的数学交流，包括报告、讨论、口试、指导和合作，而不应仅仅把论文视为判断能力的决定性证据。我们还勾勒了一种 AI 辅助研究实验室的模式，将人的集体思考与对 AI 输出的审慎使用和核查结合起来。我们承认其中存在严肃的伦理、社会和认识论问题，也尊重选择不使用 AI 的人。在此前提下，我们认为，核心挑战并不是与机器比拼定理产量，而是保存并拓展人类发展、理解和交流数学的能力。目录 • 1 引言 • 2 数学的功能 • 3 社会为什么仍然需要数学家？ • 4 应当如何评价数学家？ • 4.1 所有权文化的消退 • 4.2 聘用标准 • 5 数学家应当做什么？ • 5.1 更广阔的数学世界 • 5.2 数学的巴别图书馆 • 5.3 文献大清理 • 5.4 写作与发表 • 5.5 共同的数学文化 • 5.6 “AI 素食主义”数学家 • 6 应当如何培养数学家？ • 6.1 使用与不使用 AI 的学习 • 6.2 课程与考试 • 6.3 研究生培养 • 6.4 AI 研究实验室 • 7 给年轻数学家的建议 • 8 尾声 1 引言 2026 年，前沿大语言模型（LLM）获得了开展数学研究的能力，而且这种能力正在迅速增强。长期悬而未决的问题开始在 AI 的助力下被接连攻克。如今，大语言模型可以在一小时内得到一个不错的数学结果，有时甚至相当出色，而人类数学家只需极少介入，甚至完全不必介入。虽然这一趋势究竟会发展到什么程度还不清楚，[1] 但我们有充分理由相信，它将继续下去，AI 会在不远的将来揭示大量极有意思的数学。对于数学知识的增长而言，这令人无比兴奋。然而，代价也十分高昂。这些进展对作者身份、功劳归属、评价方式，以及数学家的角色提出了根本性问题。[2] 已经可以确定，在未来几年，甚至几个月里，我们的共同体将不得不经历深刻变革。即使 AI 的进步今天就停止，数学也已无法再按过去的方式开展，我们仍然需要调整教学、研究和交流方式。这个过程很可能既充满挑战，又令人困惑，尤其是因为 AI 发展得如此之快。[3] 与许多技术变革一样，这一进程在很大程度上由大公司的商业利益推动，而这些利益未必与数学家的利益一致 [SM]。我们即将经历一段充满不确定性和焦虑的时期，职业生涯早期的数学家尤其如此。事实上，一些年轻人已经开始犹豫，是否还要投身数学。但我们没有一个可以按下的退出键。[4]

我们可以尝试以建设性的方式影响这一进程——最近成立的独立机构“数学与人工智能顾问组”[AGMAI] 就是一项值得欢迎的努力——但我们不太可能阻止它，甚至很难让它明显放缓。我们应当适应这一现实，同时把目光投向前方那些令人惊叹的机遇。数学将如何适应，很难预测。我们这个职业的未来，不仅取决于我们做什么，也取决于整个社会如何评价和资助我们的工作。此外，教育、科学以及更广泛经济领域中的相关变化，也会以我们无法预见的方式影响我们。不过，现在已经到了开始思考这一未来的时候。本文的目标，是设想这个新世界中的数学，并尝试回答四个基本问题： • Q1. 数学家应当做什么？ • Q2. 应当如何培养数学家？ • Q3. 应当如何评价数学家？ • Q4. 社会为什么仍然需要数学家？我们相信，这个新时代虽然充满不确定性，却也是一个从事数学尤其令人振奋的时代。 2 数学的功能可以说，数学主要有四项功能： • F1. 发现关于宇宙的根本真理。 • F2. 成为人类文化及人类理解世界的一部分。 • F3. 为应用提供工具。 • F4. 促进人类的智力发展和分析性思维。在 AI 时代，这四项功能依然重要，而且都可以得到极大增强。数学家应当引领这一进程。我们对上述四个问题的回答，将以此为指引。 3 社会为什么仍然需要数学家？我们从最后一个问题谈起。它最依赖整个社会的发展趋势，也是许多对数学感兴趣的年轻人焦虑的主要来源。数学领域还会有足够的工作岗位吗？如果有，资金从哪里来？选择数学作为职业，还有意义吗？需要记住的是，如今每个领域的专业人士都面临着同样的问题，而在这个飞速变化的世界里，没有人能够作出有意义的长期预测。尽管如此，我们仍有理由认为，与许多其他知识型职业相比，数学家的处境相对较好。 • 即使 AI 的数学研究能力强大到人类参与已不再带来多大差别，我们仍然需要数学家来提出问题，并确定问题的优先次序。AI 最终也许会在这方面超越我们，但数学发现真理的功能，不只是产出更多定理，更是拓展人类的知识与理解。 • 数学的文化功能具有不可消解的人类属性，离开数学家便无法实现。即使数学家在发现新数学方面退居次要位置，我们仍然需要他们解释和传播数学文化。 • 数学应用的机会将大幅增加，因此，数学提供工具的功能也仍然需要数学家来实现。尤其是在对社会影响重大的 AI 相关领域，数学将发挥重要作用，AI 安全就是其中一个突出例子。这些工作为数学家的就业提供了有前景的方向 [Sah]。 • 要实现数学促进智力发展的功能，数学教育仍然不可或缺。AI 会成为强大的教育工具，但我们有充分理由预计，对人类教师的需求仍将持续，因为人从根本上说是社会性的存在。此外，教育体系具有相当大的惯性，这应当有助于在可预见的未来维持教学岗位 [H]。[5] • 长期以来，社会支持纯数学，不仅因为它有直接的实用意义，也因为它具有知识价值。即使 AI 参与数学知识的生产，这一理由依然成立。 • 一些数学岗位由专门捐赠给数学学术事业的捐赠基金支持。这类资金通常不能改作他用，因此应当能够为机构提供稳定性。 • 历史上，离开学术界的数学博士凭借其分析能力和批判性思维能力，一直拥有良好的就业前景。AI 时代仍然需要这些能力。这些考虑使我们有理由期待，对数学家的需求将持续存在。不过，还有一个理由可能会变得越来越重要。一个强大的数学共同体，就是一种智力储备 [Sah]。我们无法预知未来会需要哪些数学专长，尤其是在这样一个世界里：AI 可能以前所未有的速度推动科学技术发展。这些专长必须事先存在，无法在短时间内造就。要培养具有深刻理解和良好判断力的数学家，需要多年的训练、研究，以及对鲜活数学文化的参与 [Ko]。维持这种储备，既需要教育，也需要研究。数学教育不断更新着社会进行严谨分析性思考的能力。因此，如果将数学教育完全外包给 AI，就可能真正丧失掌控能力：我们可能越来越依赖复杂的技术，却逐渐失去理解和质疑这些技术的人类能力。研究同样不可或缺，因为在前沿开展工作的能力，只有不断运用才能保持。教育补充储备，研究则让这种储备始终能够在前沿发挥作用。这给了社会一个支持数学的充分理由，即使 AI 最终产出了大多数新定理，理由依然成立。我们会在火灾发生之前维持消防队，也会在紧急情况出现之前建立战略储备。同样，社会所需要的数学专长，可能比眼前需求显示的更多。支持数学，就是保存我们理解并应对尚无法预见的发展变化的能力。 4 应当如何评价数学家？ 4.1 所有权文化的消退在现代数学历史的大部分时期，其社会结构都建立在一种我们可以称为“所有权文化”（ownership culture）的基础上。数学家竞相争取证明优质定理的优先权，而一旦某个结果得到确立，作者也就获得了长久的声誉。在这个体系中，数学家所拥有的并不是定理本身，而是发现它的功劳：后续工作应当引用他们，并承认他们的贡献。职业发展、声望、奖项以及其他形式的认可，在很大程度上都建立在论文发表清单之上，而这份清单按某种适当标准衡量的“分量”至关重要。《莱顿宣言》明确肯定了一个相关原则：数学结果可以归属于具体的人类作者，功劳和责任都应由他们承担 [LD]。这种文化能在 AI 时代延续下去吗？我们认为不能，因为论文的水平与作者的数学水平之间，关联会越来越弱。如果定理证明中大部分艰难工作都由大语言模型完成，个人功劳这一概念可能会逐渐失去很大一部分意义 [B, Go]。这也许不是什么坏事：历史上，数学家之间的自我之争引发了大量冲突；如果这些自我意识不再执着于“占有”结果，数学或许会变得更好。[6]

话虽如此，所有权文化一直是数学界的一种组织框架。尤其是，它支撑起了一套依据相对客观的标准评价数学家的制度，而要替代这套制度，将是一个严峻挑战。[7] 旧制度尽管有种种缺陷，却确实一直在运作。但在 AI 时代，要保留它，可能已不再现实。这并不是说，应当把宣布借助 AI 解决纳维–斯托克斯千禧年难题的那一天，定为数学“社会主义革命”的日子，从此彻底废除数学成果的私有制。

这种转变需要时间，而且无论如何，都不会抹去以往工作应得的功劳。眼下，既然职业发展仍然依赖功劳归属，我们就必须继续认真引用并承认每一项相关的前人工作。对于 AI 辅助的研究，尤其应当如此，因为大语言模型可能会复述它在训练过程中吸收的他人想法。[8] 在开展 AI 辅助研究时，我们还应当谨慎，避免“抢先发表”那些长期以传统方式研究同一问题的数学家的成果，因为他们的职业发展可能取决于这项工作能否获得应有的认可。在不太遥远的未来，“抢先发表”这一整套观念或许不再适用，但它眼下仍然是现实，我们必须顾及这一点。出于同样的理由，在所有权文化仍然存在的时候，AI 公司大规模发布重要数学结果，可能适得其反，尤其当这些结果还处于半成品状态、仍需大量后续工作时。即使公司本身并不声称这些功劳归自己所有，也可能如此。试想有一座城市，人们用黄金作货币。突然，一群陌生人背着一大袋又一大袋金币来到这里，开始把金币抛撒到街上。结果必然是一场狂热的争抢：人们互相踩踏，只为尽可能多地捡到黄金。另一些无意参与这场淘金热的人，则可能干脆决定离开这座城市。

随着时间推移，当人们认识到这种竞争在 AI 时代徒劳无益，越来越多地把注意力转向学习和理解数学，而不是占有数学时，这个问题很可能会逐渐缓解。在这座比喻中的城市里，那将是人们意识到陌生人拥有点金石、每天都会带来新黄金的时刻。一旦黄金不再稀缺，为它争斗就没什么意义，最终，它也就无法继续充当货币。数学领域的功劳归属可能经历类似的转变。但价值观和制度的变化不会一夜之间完成。这个过渡会充满动荡，却也会在一个重要意义上带来深刻的解放，开启一种更开放、更重合作的数学文化。 4.2 聘用标准那么，随着所有权文化逐渐消退，我们在聘用时应当如何比较数学家的优劣？目标仍然相同：聘用优秀的数学家，让他们为营造良好的学术环境作出贡献。变化的是识别他们的方式。传统上，候选人论文的数量，以及更为重要的论文水平，被视为衡量其数学水平的最佳指标。随着 AI 使论文水平与作者水平越来越脱钩，这类证据的可靠性将会下降。不过，起初这主要会影响初级岗位的聘用，因为资深数学家仍然拥有具有参考意义的 AI 时代之前的工作记录。我们认为，择优聘用的主要标准应当转向智识能动性（intellectual agency）[Ko]：广博而深入的知识，对数学及其内部联系的真正理解，良好的判断力，独立的学术眼光，以及把这一切传达给他人的能力。

既然无法仅凭论文清单可靠地判断智识能动性，聘用就必须更多地依赖直接的数学交流：报告、面试和持续的交谈 [Li3]。推荐信仍然非常重要，但也应当以充分的个人交流为基础。一位候选人在 AI 的大量帮助下证明了一个好定理，另一位不借助 AI 证明了一个同样好的定理，我们应当降低对前者的评价吗？我们认为，应当平等对待他们。事实上，人类与 AI 各自贡献的边界，往往无法可靠地还原。这样的偏好会阻碍人们使用 AI，并诱使人们隐瞒使用 AI 的事实。聘用委员会应当评价数学家，而不是追究他们的定理是如何产生的。重要的是他们对这个领域的把握：他们理解什么，看到了哪些联系，认为哪些问题重要，以及能够提出怎样的战略性思路。因此，聘用时应当考虑更广泛的证据。[9] 我们必须开始根据数学家的知识、理解和眼光来评价他们，而不是根据署有他们名字的论文。 5 数学家应当做什么？这就引出了一个根本问题：如果 AI 在数学的许多关键方面都比人类做得更好，数学家还剩下什么可做？我们认为，这个问题应当从“以人为中心”（anthropocentric）的角度出发，而不是“以 Anthropic 为中心”——这里丝毫无意冒犯 Claude。数学归根结底是供我们学习和理解的。不管 AI 的能力多么非凡，它都应当是服务于人类目的的工具。不过，这确实是一件了不起的工具：它能够让我们接触到以往不敢奢望理解，甚至可能根本无法想象的思想。从这个角度看，未来有许多值得期待之处。

这并不意味着我们不会失去任何东西。发现新事物确实令人激动，许多数学家的整个职业生涯都围绕着这种体验展开。但它只是数学诸多乐趣中的一种。2026 年 9 月 15 日，让–皮埃尔·塞尔在百岁生日的演讲《数学的乐趣》（Plaisir des mathématiques）中这样开场：“那么，我要讲的这个小故事，主题是什么呢？主题是乐趣。什么样的乐趣？首先当然有数学家发现事物的乐趣，但我不想谈这个。我更想向你们描述，看着数学向前发展所能获得的乐趣。”[Se] 这种“观看”绝不是被动的；它意味着主动参与数学的“向前发展”，塞尔自己辉煌的学术生涯就是明证。一种新颖的论证可能让我们惊讶，一种新的联系可能改变我们的思考方式，一个经典领域也可能让我们终生着迷。这些乐趣并不取决于我们是不是最先发现相关数学的人。随着 AI 加速数学进步，我们将亲历数学以前所未有的规模向前发展。 5.1 更广阔的数学世界自数学诞生以来，数学家便把大量时间花在一点点凿开数学的永久冻土上，盼望一生中能挖出寥寥几颗真正梦寐以求的宝石。如果 AI 接手其中的大部分工作，我们就会有更多时间探索这片天地。

我们中的许多人很早就选定了专攻方向，因为职业发展要求如此；如今，我们或许有机会涉猎得更广。代数学家可以学习偏微分方程和傅里叶分析，分析学家可以探索同伦论和代数几何，AI 则可以从我们已经理解的思想出发，帮助我们进入陌生领域。

我们也不只是在追赶一套固定不变的知识。数学永远不会被彻底“解决”，成为一门已经完成的学科。它的宇宙会随着探索而扩张：新结果揭示出意想不到的联系，要求新的定义，也开辟新的方向。每一步进展都会带出新的问题。从这个意义上说，AI 扩大了可以提出新问题的空间，因而可能为原创数学创造更多余地。那么，人类的创造力还有用武之地吗？当然有。目前，一位经验丰富、数学素养深厚的 AI 使用者，加上 AI，明显强于单独的 AI。随着时间推移，这一点可能发生变化。但无论如何，一个数学家即使广泛使用 AI，仍然可以提出有洞见的问题、发明有用的定义、发现出人意料的类比、选择新的方向，或找到能够解释某种现象的视角。AI 可以大幅提高这类工作的效率，也可能贡献新思想，但不断扩展的前沿仍然为数学家留下了空间，让他们提出新问题，研究那些此前尚不存在，或尚未进入视野的问题 [Li3]。创造力不会消失；它只是在一个以前所未有的速度向外拓展的前沿上发挥作用。 5.2 数学的巴别图书馆沿着 [Li1] 的思路，让我们想象一个数学版的博尔赫斯“巴别图书馆”：它主要由 AI 建造，庞大到其中绝大多数内容永远不会被人类阅读。博尔赫斯原作中的图书馆包含一切可能的文本，因此充斥着无穷无尽的胡言乱语和虚假内容；我们设想的数学图书馆则不同，它由经过可靠核查的结果组成。问题不再是从荒谬中辨别真理，而是在多得令人不知所措的真理中找到方向。其中一些内容，也可能超出我们直接理解的能力。两类 AI 智能体可以在这座图书馆中穿行：一类通过新发现扩充馆藏，另一类提炼馆藏内容，挑选与我们的问题相关的部分，并将其转化为便于人类理解的形式。数学家则在人类与一种“外星”数学文明之间担任译者。

即使 AI 在这两项任务上都表现出色，我们仍然必须亲自消化这些数学。有了解释，并不等于已经理解：数学家还需要吸收其中的思想，把它们与已有知识联系起来，并学会运用。无论 AI 提供多少帮助，这仍然是真正的数学工作。由此可以设想一种不同的研究组织方式。一群数学家可以用一个学期来理解一套新的思想，比较不同方法，寻找共同框架。他们也许会在过程中发现新结果，但是否成功，不再取决于有没有最先证明某个特定定理。他们的成就，是让一个人类共同体能够理解数学中此前难以企及的一部分。最后还有一点同样重要：这座巴别图书馆无论多么庞大，始终都是有限的，而数学是无限的。因此，数学家不仅仍是它的读者和解释者，也仍是它的贡献者。他们将在不断扩展的数学边界上提出新问题，并展开探索，或许也会借助 AI。 5.3 文献大清理 AI 还为清理数学文献带来了难得的机会，而且这也越来越成为一种责任。我们继承了大量辉煌的成果，同时也继承了错误、漏洞、晦涩的论证、互不兼容的约定，以及以不同名称被重复发现的结果。前沿 AI 模型已经非常善于发现这类问题。

数学家应当利用这一点。尤其是，我们鼓励作者让强大的 AI 智能体系统地检查自己的论文，就像请一位细心的同事帮忙阅读一样。[10] 同样的工具也可以大规模使用。我们可以逐一核查整个数学文献体系中的证明，补全缺失的细节，简化论证，比较等价表述，并明确各项结果之间的依赖关系。越来越多这样的工作还应当伴随 Lean 形式化。形式验证与人类理解相辅相成：Lean 可以验证一个精确表述的论证，而数学阐释则必须说明它为何成立、意味着什么。目标是让文献既正确，又清晰。在每个领域，我们都可以找出重要而尚未解决的阐释问题：有些构造需要说明动机，有些证明的机制仍然晦暗不明，有些理论之间的关系尚未得到充分理解 [San]。由人类数学家指导 AI 智能体，我们或许能留给下一代一套比以往任何时候都更可靠、组织得更好、也更容易理解的文献。 5.4 写作与发表随着 AI 让数学成果变得充裕，发表就不能再仅仅承担记录结果的功能。知识库可以记录精确陈述、依赖关系、版本和验证状态，而期刊文章则可以越来越侧重解释与综合，引导读者理解保存在其他地方的技术记录。[11] AI 在审稿中也将发挥越来越大的作用，而在具备必要基础设施的领域，形式验证最终可能成为常规做法。但二者都不能免除作者的责任：只要一篇论文还署着我们的名字，我们就应当理解其主要思想，能够为其中的结论作出辩护，并承担责任 [An]。所有权文化的消退，也可能为一种全新的发表方式腾出空间。一份由 AI 生成的数学文本，即使使用者尚未完整核查或消化，也可能值得公开，前提是明确说明它所处的状态。文本的生成来源应当充分披露，最好包括产生它的提示词和模型回复。专门收录 AI 生成数学的知识库，例如 Hexagon [He]，或研究者的个人网页、博客，会是更合适的发布场所。等到所有权文化淡去，这类材料就可以进入公共的数学知识库，供任何人核查、理解、改进，或者置之不理。我们还应当为那些最终并未形成定理的贡献留下更多空间：富有启发性的定义、猜想、研究纲领、有助于理解问题的例子，以及对失败思路的解释。即使尚未形成完整结果，重要的仍然是思想本身的创造潜力。最后，发表也不必局限于传统论文的形式。录制的报告可以传达研究动机和看问题的角度，[12] 交互式辅助工具则可以回答问题，展开过于简略的论证。[13] 发表应当从被动记录已完成的结果，发展为一种富有活力的基础设施，帮助人们在数学世界中找到方向、理解数学，并推动它继续发展。 5.5 共同的数学文化数学文化存在于人之中，而不是文献之中。它由研讨班、交谈、教学，以及共同思考的经历承载。我们学习的不只是证明，还有看问题的角度、研究动机，以及失败方法留下的教训，而这些可能永远不会写下来。这种共同的理解，是数学不可或缺的一部分。因此，合作应当优先于竞争。2010 年，我们在麻省理工学院创办了面向高中生的研究项目 PRIMES [PRIMES, EGK]。在这个项目中，我们始终强调合作重于竞争，而现在，这一点比以往任何时候都重要。不同背景的数学家可以帮助彼此理解陌生的思想，检验彼此的直觉，看到任何一个人独自思考都无法发现的联系。对数学的理解，会在分享中增长。研讨班和学术会议应当更多地体现这种合作方式。报告人不必总是介绍自己最新的结果。解释一项重要进展、比较不同观点，或讲清一个困难的主题，可能同样有价值。与一连串高度压缩的成果通报相比，更长时间的讨论和共同研习，更能帮助大家形成真正的共同理解。我们还应当让共同体之外的人更多地看到数学的这一面。公开讲座和通俗写作可以向人们展示：数学不只是一堆已经解答的问题，它也是理解世界、共同思考的一种方式。AI 辅助的阐释可能帮助更多人走进这种文化 [Gi]。随着 AI 拓展数学的视野，一项重要任务将是让更广泛的人群保持对数学的兴趣。 5.6 “AI 素食主义”数学家一种更开放、更重合作的数学文化，也必须欢迎选择不使用 AI 的同事。Max Weinreich 提出了“AI 素食主义数学家”（AI-vegan mathematicians）一词，用来指那些作出这一选择的人，无论他们是出于伦理考虑，还是更喜欢不借助 AI 开展工作 [W]。他主张在数学领域集体拒绝 AI，理由是使用 AI 既威胁数学实践，也威胁更广泛的社会价值。人类数学协会（Association for Human Mathematics）中主张不使用 AI 的群体也持有这一观点 [AHM]。这一立场与数学的一项传统存在某种张力：我们一向使用一切可用工具，来扩展和验证数学知识。但更重要的问题在于实践。整个学科共同抵制 AI，似乎很难成功。我们的共同体规模太大、差异太多，无法一致行动；即使大多数数学家都拒绝使用 AI，任何人仍然都可以借助 AI 工具，产出并发布重要的数学结果。因此，这个领域的未来不可能没有 AI。不过，“AI 素食主义”数学家的担忧是严肃的，他们的选择应当得到尊重，广泛使用 AI 的人的选择也同样如此。在分歧格外尖锐的时期，我们更应努力维护数学共同体友善、合作的品格。

事实上，我们倡导的模式把“AI 素食主义者”和“AI 杂食者”放在平等的位置上。智识能动性并不要求使用 AI。它可以通过书籍、讲座、研讨班、交谈、独立思考，以及以传统方式持续投入数学来培养。人类撰写的阐释也能让选择不直接与 AI 互动的数学家理解 AI 辅助产生的数学。无论采用哪一种方式，重要的都是同样的东西：知识、理解、判断和眼光。对于那些因经济或机构原因而无法使用最强模型的数学家，这一点同样适用。在所有权文化下，一个奖励成果数量和质量的制度，很容易把算力获取能力转化为职业优势。以智识能动性为中心的制度则有助于创造更公平的条件：评价数学家，依据的是他们知道什么、理解什么，以及对数学文化作出了什么贡献，而不是他们能使用的模型有多强。这并不能彻底消除资源不平等，却能让人们在无力使用昂贵 AI 模型的情况下，仍然充分参与数学。要在这一过渡中保持数学共同体的健康，需要双方都保持包容。既不应把“AI 素食主义者”和怀疑者斥为落后，也不应给“AI 杂食者”贴上在智识或社会层面不负责任的标签。合作者应当就可以使用哪些工具、可以向这些工具提供哪些材料达成一致，但对 AI 的分歧，不应成为判断一个人是否有资格留在数学界的标准。 6 应当如何培养数学家？如果知识、理解和眼光将变得更重要，数学训练就应当直接以培养这些能力为目标。写出一份出色的数学文本，与成为一名出色的数学家，将是截然不同的两件事。AI 可以大幅加快前者，却不能代替后者。 6.1 使用与不使用 AI 的学习解题作为职业产出的价值可能降低，但对于成长为数学家，它仍然不可或缺。我们通过摆弄例子、犯错、与证明较劲，以及寻找自己的解释来学习。读到一个定理后合上书，尝试自己证明它，即使现成的证明触手可及，这样做仍然有益。即使只需输入一个提示词就能得到证明，这一点也不会改变。不只是学生，我们每个人都仍然需要这个数学健身房，让解题的肌肉保持状态。

因此，AI 让自律变得比以往任何时候都重要。在索要答案之前，我们应当先问自己，究竟想学到什么。有时，一个简明的解释能让我们继续思考更深的问题；有时，我们需要的正是那番艰难摸索。如何选择，取决于具体的人和目的。[14] 还有一种更广泛的危险。AI 让我们极其容易在数学中一路向前，却对细节一带而过：接受一个感觉很有说服力的解释，跳到下一个想法，渐渐失去与学科内部运作机制的联系。Daniel Litt 警告说，数学不会因为 AI 解决了太多问题而终结，但如果数学家不再足够深入地投入数学，以至于无法理解其中究竟发生了什么，数学就可能终结 [Li2]。不过，如果运用得当，AI 可以大幅提高主动学习的成效。我们可以让它给提示而不是完整解答，举例说明一个抽象概念，或者设计一道检验理解程度的问题。但一个解释看上去清楚，并不意味着我们已经真正吸收了它。更好的检验方式是：我们能否重建论证，能否在新的情境中运用这个思想，能否向别人清楚地解释它。获取数学知识的方式可能改变，但什么才算理解数学，其标准不应改变。因此，基于发现的学习可能变得格外有价值。一组精心设计的问题，可以让学生自己建立一套理论，体验发现的乐趣。[15] AI 可以帮助我们以前所未有的规模编写这类材料，并根据个人情况加以调整。目标是帮助学习者真正消化数学，即使 AI 本可以带着他们更快地走过这些内容。 6.2 课程与考试 AI 也改变了课堂的作用。学生可以事先学习讲座或阅读材料，遇到问题时向 AI 导师请教，然后把课堂时间用于在教师帮助下分组解决问题。[16] 这样，课堂就能帮助学生克服学习中最困难的部分，教师也能够直接了解学生的理解情况。课后作业仍然十分重要，但一份在家完成、无可挑剔的解答，作为学习成效的证据，其分量将会下降。随着 AI 使用越来越难以识别，即使是有人监考的笔试，也可能需要辅以围绕所交答案开展的当面讨论和口试。例如，参照东欧的模式，可以提前向学生提供一份理论问题清单；考试时，学生抽取其中若干问题和一道习题，准备答案，然后向教师讲解。教师再通过追问检验理解的深度。这类考试需要时间，也需要周密设计。它们不应成为比拼反应速度、自信程度或表达流利程度的竞赛：留出准备时间、明确评价标准、提供适当的便利安排，以及给予多次展示理解程度的机会，都很重要。口试也并非完全不受外部协助的影响。目标是获得关于学科掌握程度的更可靠证据，而不是为防范作弊筑起一道完美的技术防线。有些活动可以明确允许使用 AI，另一些则可以要求学生独立完成、不使用 AI。只要目的明确，这两种方式都有价值。数学竞赛也可以继续作为明确限定由人类参与的活动存在，由禁止外部协助的规则约束，就像国际象棋比赛一样。 AI 可能改变数学的教学方式和学生的评价方式，但不应改变数学教育所追求的目标。工具可以发生翻天覆地的变化，目标依然是教会学生理解数学、解释数学，并独立进行数学思考。 6.3 研究生培养研究生教育应当把一部分重心从过早专门化、尽快发表论文，转向广博的知识、深入的理解、交流能力和判断力。学生仍然需要扎实掌握一个有一定规模的领域，但仅仅为了积累论文发表记录而过早收窄兴趣，将越来越缺乏理由。他们还应当充分学习专业之外的数学，以便发现联系、提出好问题，并有信心进入新的领域 [PhdSu]。教师主持的研讨班、读书小组和高阶课程，可以在这种训练中发挥更大作用。学生应当经常彼此讲解数学、比较不同观点并回答问题。从一开始，就应当培养合作精神。AI 可以帮助补足背景知识、加快探索，但要在黑板前讲清一个想法，并在讨论中回应质疑，就迫使学生真正消化数学。指导将比以往任何时候都重要。学生需要经常与导师交谈，讨论应当研究什么问题、学习什么内容、何时使用 AI，以及 AI 究竟是在促进他们的智力发展，还是让他们跳过了必要的成长过程 [PhdSu]。指导也不应只限于导师：高年级学生和博士后可以带领低年级学生进入陌生领域，探索研究问题。这对双方都有帮助。讲解数学、提出问题建议、关注受指导者的进展，既能加深指导者自身的知识和判断力，也能让他们积累教学、合作和引领数学研究的经验。博士论文仍应是一项扎实而有分量的数学工作，但仅凭这份文稿，已无法再证明学生的数学水平。重要的是，在完成这项工作的过程中成长起来的那个数学家。学生应当充分理解论文相关的数学，解释主要思想和动机，比较其他可选方法，并说明如何核查任何借助 AI 完成的工作。论文未必需要包含某个命题的首次证明；原创性也可以体现在思想、方法、问题、联系或综合之中 [Ko, Gl, Li3, PhdSu]。因此，评价应当更多地依赖持续的数学交流。考核者可以要求学生举例、改变假设、与其他方法作比较，或讨论下一步可能的方向。与多位教师定期会面，可以在过程中持续评估研究计划和智力发展 [PhdSu]。研讨班、教学、指导他人、讨论，以及学生自己的写作，能够比任何一份单独的文稿更好地记录其数学成长。尤其是，如果 AI 意外解决了学生的博士论文问题，这不应让此前投入的智力劳动失去价值。项目可以随之转向理解证明、提炼其中的思想、拓展这些思想，或者将其置于更广阔的背景之中。研究生教育的目的，不是让一个猜想保持未解足够久，好让某个学生认领它，而是培养出一位数学家。 6.4 AI 研究实验室这些原则启发了组织数学研究的新方式。其中一种模式，是由一位教师带领的小型 AI 研究实验室或工作坊，面向在某个共同领域具有一定基础的学生开放。它的目标，是把合作研究与强大的 AI 结合起来，促进学习，并培养核查和理解 AI 输出的能力。产生的数学成果，将通过学生撰写的讲义或合著论文，以及参与者的报告来呈现。实验室可以按以下方式运作： 1. 聚在一起，共同思考。定期召开会议，参与者围绕研究项目在黑板前集思广益，不使用 AI。他们轮流记录讨论，并根据自己的笔记介绍想法或结果。 2. 请 AI 作出回应。每次会议结束后，教师把整理好的笔记上传给一个前沿模型，请它提出问题、想法、证明以及可能的反对意见。在发给学生之前，模型输出先经过与 AI 审稿智能体配合开展的几轮修改。这些核查有助于提高讨论材料的质量。 3. 研读回复。学生在下次会议之前阅读模型输出，不同参与者分工仔细检查不同部分。他们核查论断和参考文献，逐步弄清论证，并准备解释自己理解了什么。会议上，他们使用自己写下的笔记，而不是模型回复，来引导讨论。 4. 写作与交流。学生共同维护一份连贯的数学文本，与粗略的会议笔记和 AI 对话记录区分开来。他们亲自撰写，并根据彼此、教师和 AI 的意见修改。这份文本可以发展为学生合著的论文，教师主要担任指导者；成果也可以通过报告展示。即使有组织的会议已经结束，写作仍可继续。两次会议之间，学生可以自由使用 AI。不过，这一设计的要点是，实验室有组织的 AI 使用，只在每次会议之后进行一轮，以回应人类的讨论。这样就留出了思考、学习和写作的时间。同时，也可以通过教师的账号集中使用一个强大的模型，而不让参与机会取决于每个学生的预算。通过调整所需的知识准备和项目范围，这种设计可以适用于研究生、本科生，甚至高中生研究。衡量它是否成功，应当同时考察完成了怎样的数学工作，以及参与者在数学上取得了怎样的成长。目标是借助 AI，做出更好的数学，培养更强的数学家。 7 给年轻数学家的建议这就来到了最重要的问题：今天，热爱数学的年轻人还应当把数学作为职业吗？我们的回答是，应当。AI 让这个职业的未来更难预测，但也为学习、探索和理解数学打开了非同寻常的机会。以下是一些具体建议。 • 接受未来在根本上的不确定性。没有人知道十年后，甚至五年后，数学或大多数其他职业会是什么样子。去积累那些在多种可能的未来中都仍有价值的知识和技能，不要围绕关于 AI 的最新预测来安排人生。 • 学得广，也学得深；遵从内心。顺着兴趣探索数学的不同领域，避免过早专门化。广博的知识有助于你看到领域之间的联系。同时，也要把一些课题钻研得足够深入，达到真正掌握的程度。 • 把合作放在竞争之前。找到那些让你乐于一起思考的人。提出问题，参加研讨班，讲解自己理解的内容；有困惑时，也不要不好意思说出来。帮助彼此理解数学，会比争先再发一篇论文更加重要。 • 无论是否使用 AI，都要培养自己的智识能动性。如果你愿意使用这些工具，就学习如何使用强大的模型，更重要的是，学会理解和判断它们的输出。如果你倾向于不使用，就通过其他方式建立理解。无论怎样，都要继续解题、提问、撰写解释，并检验自己究竟学到了什么。 • 根据自己的优势和志向规划职业，而不是让焦虑作主。与导师交流，了解学术界内外的职业，保留多条道路。没有人能够承诺一个学术岗位，但在 AI 时代，放弃自己热爱的学科，转向另一个据说“安全”的职业，也很难保证安稳。你不必成为世界上最优秀的数学家，也不必比机器更强，仍然可以拥有丰富的数学人生。你无需赢得一场与 AI 的竞赛。重要的是理解数学，帮助别人理解数学，并把人类的理解推进到从未到达的地方。人类很快就会知道比以往任何时候都多得多的数学，并以我们尚无法想象的方式运用它。也许从未有过比现在更令人兴奋的时刻，适合踏上这条道路。 8 尾声在这篇文章中，我们分享了自己对人工智能时代数学的设想。它只是共同体中众多观点之一。许多同事的疑虑，包括“AI 素食主义”数学家提出的深切担忧，都值得认真对待。我们得到了一件非同寻常的探求真理的工具，但代价也十分沉重。不过，在一个重要意义上，现在再讨论是否接受这笔交易，已经没有实际意义。AI 已经到来，并将长期存在，我们无法假装它不存在而继续前行。我们仍然能够决定的，是如何回应：选择珍视什么，如何培养年轻数学家，以及围绕这个新工具建立怎样的文化。与其试图挽救旧秩序，我们更应当保存那些根本的东西——好奇心、知识、理解、智识能动性，以及从事和分享数学的乐趣——同时敞开头脑，迎接如今已经可以探索的、广阔而令人激动的数学世界。