当解题不再稀缺——陶哲轩演讲《数学2.0》

陶哲轩 2026 年 10 月加州理工公开演讲全文（附研究笔记导读） 概述 2026 年 10 月 9 日，陶哲轩在加州理工学院做了一场题为《数学 2.0》的公开演讲。他提出的判断是：数学正在从延续近百年的「证明稀缺」时代，进入「证明丰裕」时代；而数学界的制度、传统、激励与既定目标，几乎全部是为稀缺时代设计的。

演讲的重点不在「AI 有多强」，而在一个更麻烦的问题上：当解题本身不再稀缺，数学该以什么为目标。他的回答是，解题历来只是长期目标的一个代理指标；在丰裕时代继续盲目优化解题，对数学的长期健康已从「无益」变成「有害」。 为什么此刻值得读 其一，这出自演讲人本人的正式发布。题目由原定的「机器辅助证明」（Machine Assisted Proof）改为「数学 2.0」，他自述「因近期事件，演讲内容有较大改动」——题目之变，本身就是判断的更新。 其二，他给出的是可操作的正面清单而非警告：开放阐释问题、活体文献网络、形式化数学库、消融实验、定理邻域探索、开源数学模型——这与「AI 将取代数学家」的流行叙事，是两条完全不同的路径。 对 AI for Science 的价值：人类理解不可跳过 陶哲轩用一张「解题生态」图说明问题所在。在传统数学（他称之为「数学 1.0」）中，链条是：纯数学问题 → 客观可验证的解 → 人类理解 → 应用数学问题 → 对齐的应用解。关键在于，从解纯数学问题中获得的洞见，能够安全地迁移到应用问题上。 而当 AI 被不加区分地用来直接连接「问题」与「解答」时，被打断的恰恰是「纯数学问题 → 人类理解」这条边。结果是：大量技术正确、但无人理解的答案涌向应用端，其中一部分是错位的（misaligned）。他用「不可再生」形容这种用法——一个被解出的问题无法再变回未解，连「知道它有解」都会污染后来者的探索。 他把风险推到一个思想实验的极限：假设让 AI 去找「一种能通过三期临床试验的抗癌药物」，它给出了一组此前未知的分子，预测在 Lean 中被确证，临床试验也真的通过了。但在把这组分子注射进血管之前，你希望至少有一位人类癌症专家理解它为什么有效吗？或者，至少有一位人类数学家理解用来找到它的那个数学模型吗？ 这个问题不止于数学。数学之所以成为 AI 冲击最清晰的试验场，正因为它具备三项其他学科罕见的性质：客观可验证、高度可数字化、高质量数据充足。也正因如此，数学提供了一个基准——「其他领域安全使用 AI 上限的理论基准」。换言之：连在数学这样可机械校验的领域里，理解都不能被跳过；那么在验证更软、更依赖真实世界交互的物理、化学、生物、医学，跳过理解的风险只会更大。 这条论证的分量在于：它把讨论从「AI 能不能做科学发现」，推进到「AI 做出的发现，人类要如何消化」。前者是能力问题，后者是可持续问题。 四、对读者的启示 演讲结束陶哲轩指出：实现「数学 2.0」的首要瓶颈，不是技术，甚至不是制度文化，而是想象力。 对教育者的意义很直接：当答案变得廉价，「提出好问题」「讲清楚一个结果为什么重要」这类能力的价值不是下降，而是上升。他把解题比作徒步——路标与地图本身就是价值；而「AI 工具像直升机，直接把你空投到目的地，你错过了旅途本身的全部价值/好处」。 五、关键名词 证明稀缺 / 证明丰裕 Proof scarcity / proof abundance。传统数学的底层假设是「找到并证明一个解答既困难又罕见」；AI 与形式化让「生成」这一步急剧提速，数学由此进入解答供过于求、而理解与消化严重滞后的状态。 数学 1.0 / 数学 2.0 Math 1.0 指以解题为中心、围绕证明稀缺组织起来的传统数学形态；Math 2.0 指解题去中心化之后，用 AI 去强化「人类理解与数学之间每一种交互路径」的新形态。 锯齿状能力 Jagged capability。AI 在客观可验证、数据充足的任务上表现惊人，在主观性、依赖真实世界交互、数据稀缺的任务上却力有未逮。这种落差在数学内部与数学之外同时存在。 对齐 / 错位 Aligned / misaligned。指解答是否真正服务于人的目标。一个通过了全部检验的答案，仍可能通过利用检验流程的薄弱环节而偏离本意。 开放阐释问题 Open exposition problem。与「开放研究问题」相对：问题不在于解出什么新东西，而在于把已有结果晦涩的证明，改写成有动机、可理解的解释。 灯塔 Lighthouse。陶哲轩对公开问题的比喻：它们不是要抵达的终点，而是探索周边数学地形的指引。用自动化工具过早抵达，会打断「未走之路」的探索。 ◆ ◆ ◆ 演讲全文 以下为演讲幻灯片的完整中译。为便于阅读，译文按演讲的内在逻辑重新组织为连续段落，不逐页对应；术语首次出现时括注英文原文。文末附翻译处理说明。 引子：一场被 AI 打断的稳定 现代 AI 工具的出现，正在冲击许多历史悠久、根基深厚的职业。而我自己所在的数学研究领域——它在近一个世纪里一直高度稳定——被证明对这种冲击尤为敏感。 一、数学为什么最先被冲击 （一）「证明稀缺」是整套制度的底层假设 传统数学——或者叫「数学 1.0」——是运行在「证明稀缺」（proof scarcity）这个假设之上的。为一个公开问题找到解答、并证明它确实正确，既困难又罕见，而且往往需要相当高超的人类专业能力才能做到。 数学 1.0 的许多制度、传统、激励机制和既定目标，都是在这一「证明稀缺」的假设下组织起来的。理解这一点，是理解后面一切变化的前提。 （二）三项在其他学科中罕见的性质 另一方面，证明具有一种在大多数学科中极为罕见的性质——客观可验证性。不同的数学家可能对「哪类数学有趣或有价值」各执一词；但对「什么构成某个问题正确而完整的证明」，业内存在广泛共识。事实上，只要用合适的证明辅助语言书写（例如 Lean），证明甚至可以交由计算机进行机械化检验。 证明还高度可数字化：它不需要实体装置，不需要任何真实世界的数据作为输入，也不需要任何真实世界的实验来验证输出。原则上，一支笔、一张纸，加上标准数学教科书或定义库，就能生成并验证一个证明。而解一个复杂的数学问题往往还需要熟悉相应的研究文献——如今，这类文献的庞大体量已经以数字化形式可供获取。 （三）证明丰裕时代的到来 客观可验证性、可数字化，加上大规模高质量数据集——这三者结合在一起，使「解数学问题」这件事格外适合驱动现代 AI 的机器学习技术。 前沿 AI 实验室因此把数学解题能力的进步排在了优先位置，优先级高于那些缺少上述三项特性之一或之几的其他应用。这种大规模投入的结果是：我们正步入数学的「证明丰裕」（proof abundance）时代。 三性质叠加 → 前沿实验室优先投入 → 证明丰裕。这是整场演讲的因果起点。 二、锯齿状的能力 只要有足够的算力和前沿 AI 模型的访问权限，人们如今可以在相对短的时间内，得到许多过去被认为困难的公开问题的解答。而且越来越常见的是：提问者本人无需具备任何专业知识，就能拿到这样的解答。 这与 AI 在当前那些主观性强、依赖真实世界交互、或数据稀缺的任务上的表现，形成鲜明反差。AI 的表现因此是极度锯齿状的（jagged）：在某些方向上令人惊叹，在另一些方向上却力有未逮。这一点既成立在数学内部，也成立在更广的范围内。 三、两个常被误读的后果 （一）前沿没有塌陷 尽管新闻通稿和社交媒体给人一种印象，但在当前数学前沿，绝大多数问题依然悬而未决——即便投入海量算力也是如此。确实，数学问题的空间是无限的，而这类问题的难度上限也没有止境。正因如此，数学的未来前沿将永远不断扩展。 （二）解题只是一个代理指标 更进一步说，解题虽然在历史上一直是研究数学最显眼的目标之一，但它只是一个代理指标，指向的是更可贵的长期目标。 在证明稀缺的时代，这个代理指标大体上是准确的；但在证明丰裕的时代，它已经错位了。如今再一味盲目地优化解题本身，反而对数学的长期健康有害。 数学的未来——也就是「数学 2.0」——需要同时做两件事：拓展研究前沿，以及把解题的传统地位去中心化。 ◆ ◆ ◆ 四、报道偏差，与更科学的评估 「哇，我在社交媒体上看到的数学问题，全都被 AI 解出来了！」 这句话描述的是一种典型的报道偏差。那些未被报道的失败尝试，从来不会出现在你的信息流里。因此，我们迫切需要更透明、更科学的 AI 能力评估——完整报告资源消耗和负面结果等关键统计量。First Proof（1stproof.org）就是朝这个方向的一次努力。

图 1 数学的前沿。图中绿色大圆代表「全部数学任务」，蓝色为「人类」的能力范围，红色为「AI」的能力范围，二者重叠处为「人类 + AI」。当前的新闻通稿与社交媒体活动，只集中在被 AI 解出的那一小块区域；而「未被报道的失败尝试」无人提及。只有当我们更有想象力、更有创造性地使用 AI，从「数学 1.0 前沿」到「数学 2.0 前沿」的研究边界才会显著扩张。（原图：演讲第 12 页） 五、实验数学的新时代 我们如今有能力收集过去不可能、或极不切实际的大规模数学数据集。早期的例子包括「等式理论项目」（Equational Theories Project, ETP）和 SAIR/LMFDB 的「逆伽罗瓦问题挑战」（Inverse Galois Problem）。 有了这类数据集，人们可以开展新型的实验数学：从「个案研究」（case studies）转向「全样本调查」（population surveys）。这有助于绘出研究前沿全新的「难度地形图」——在拥有强大 AI 工具之后，这张地形图的形状已经显著不同了。 等式理论项目（2024—2025）：以众包方式汇集人类与自动化论证，判定了通用代数中超过 2200 万个真 / 假命题。 逆伽罗瓦问题挑战（2026）：IGP24 第一阶段是一场成功的众包竞赛，为 24 次多项式在该次数下全部 25000 种可能的伽罗瓦群，各找到了一个对应的多项式；第二阶段将以协作方式向上扩展到 31 次。 六、超越解题：灯塔，与一种不可再生的资源 与流行看法（或者我们自己的一些宣传）相反，数学家并不是只盯着「解出公开问题」。尤其在纯数学中，公开问题充当的是「灯塔」（lighthouses）：它们本身不是要抵达的目的地，而是探索这些问题周围整片数学地形的有用指引。 在尝试解题的过程中学到的东西——无论成功、失败，还是只取得部分进展——往往比问题本身的最终答案更有价值。而用自动化工具过早地抵达这些灯塔，会打断对「未走之路」的探索，并使周边领域失去生机。 这里还有一层不易察觉的代价：一个已经解出的问题，无法再变回未解。甚至连「知道它已经有解」这件事本身，都会污染后来者（无论是人还是 AI）去寻找那些本可揭示更多的替代路径的努力。 先看一种幼稚的解题观：AI 出现之前，数学问题 → 数学解答；AI 出现之后，数学问题 →（AI）→ 数学解答。这难道不是好事吗？ 七、一个更准确的模型 （一）数学 1.0 的解题生态：人类理解居中 下面要给出的，是「数学 1.0」解题「生态」的一个简化示意。纯数学问题通向纯数学解答，后者是客观可验证的；应用数学问题通向应用数学解答，后者需要主观判断。而「人类理解」处在这个循环的中央，两端都与它相连。 这个生态的要点是：在数学 1.0 中，公开问题是在一个可再生的循环中被解决的；而从解纯数学问题中获得的洞见，能够被安全地迁移到应用问题上。

图 2 数学 1.0 的解题生态简图。纯数学问题 → 纯数学解答（客观可验证）；应用数学问题 → 对齐的应用数学解答（需要主观判断）；人类理解居于中央，与两端相连。洞见经由理解完成从纯数学到应用数学的安全迁移。（原图：演讲第 18 页） （二）不可再生的用法，会打断哪一条边 现在把 AI 放进这个生态里，并让它以「不可再生」的方式使用。 当 AI 被用来直接从「问题」跳到「解答」时，被打断的恰恰是「纯数学问题 → 人类理解」这条边——图 3 中这个位置被标注了一个红叉。于是，大量技术正确但无人理解的答案，直接流向应用端；而应用端的另一端，还多出了一条通向「错位的应用解」的路径。

图 3 不可再生的用法。AI（红色）直接连接「纯数学问题 → 纯数学解答」与「应用数学问题 → 错位的应用解」；而「纯数学问题 → 人类理解」这条边被打上红叉。原图注：不加区分地、以不可再生的方式使用 AI 去解题，会损害该领域的长期健康与进展，也会损害向更混乱的真实世界应用的安全迁移。（原图：演讲第 19 页） 这段结论值得原样记下：不加区分地、以「不可再生」的方式使用 AI 去解题，会损害该领域的长期健康与进展，也会损害向更混乱的真实世界应用的安全迁移。 八、一个思想实验：抗癌药与对齐 为了把「对齐」与「理解」的关系说透，陶哲轩给出了一个思想实验。 假设我们让一个先进的 AI 去完成这样一个指令：「找出一种能通过三期临床试验的抗癌药物。」在消耗大量算力之后，它合成出一组此前未知的化学分子；其数学模型预测，这组分子混合后注入病人体内，能杀死全部癌细胞。虽然没有人真正知道这组分子是怎么被找到的，但这个模型的预测在 Lean 中得到了确认，药物也确实通过了三期试验。 问题来了：这个解答，会不会通过利用试验流程中的某个薄弱环节，而「对齐失败」？在你把这组分子注入自己的血管之前，你是否会希望——至少有一位人类癌症专家，理解这一疗法背后的机理？或者，至少有一位人类数学家，理解用来找到这组分子的那个数学模型？ 九、Math 2.0：让 AI 强化每一条经过理解的路径 把上面那个生态模型换一种用法，结果就完全不同。 更可持续的「数学 2.0」用 AI 方式，是去强化「人类理解」与数学之间交互的每一条路径——而不是让 AI 直接跳过人类理解、从问题跳到答案。换句话说：AI 加在哪里，决定了它是加速循环，还是短路循环。

图 4 数学 2.0 的用法。每一条经过人类理解的边上都被标注了「+AI」。原图注：更可持续的「数学 2.0」用 AI 方式，是去强化「人类理解」与数学之间交互的所有路径。（原图：演讲第 21 页） 十、Math 2.0 的用法清单 陶哲轩给出的正面清单是具体而克制的。以下按原演讲的先后次序逐项列出。 「开放阐释问题」，而非开放研究问题。为那些已知证明目前晦涩难懂的结果，寻找有动机、可理解的解释。（新近改版的加州理工 Mathathon，就是他举出的一个正在进行的实验。） 把众多研究论文汇聚成一个更宏大的活体网络。「显式解析数论集成网络」（IEANTN）是这类网络的一次初步尝试。 创建大型、高质量的形式化数学库，例如 Mathlib。 用 AI 去发现并凸显新的原理、方法或洞见，而不只是给出新证明。 Mathathon（11 月 13—15 日）。一场由学生组织的活动，使用开源 AI 工具，为那些「现有证明在一个或多个方面不尽如人意」的已有结果，寻找新的、更好的证明。 「显式解析数论集成网络」（IEANTN），具体地看。它是一张「活的电子表格」，把显式解析数论中大量相互关联的结果汇集在一起，可通过向网络中加入结果、或从网络中移除结果，来实时更新。 「消融实验」。拿一个已经证明的定理，看它在撤掉某些关键理论或输入之后，是否仍然可以被证明。例如：为目前只能用非初等方法证明的结果，找到一个初等证明。 自动探索「定理的邻域」。看当修改或放宽假设时，还能抢救出哪些结论。 开发量身定制、开源的数学模型，以高可解释性和高安全性，高效完成数学任务。（他补了一句：一些开源数学模型很快就会发布——敬请期待。） 创建交互式、条理清晰的数学文本或演示，把某一理论中的大量结果综合起来。 把理解纯数学模型所获得的专业与洞见，用于分析这类模型应用于真实世界问题时的失效模式，并在把 AI 工具用于此类问题时，探查是否存在错位。 结语：瓶颈不是技术，是想象力 实现「数学 2.0」的首要瓶颈，不是技术，甚至也不是制度文化。它是想象力。 清单还可以继续往下写。但陶哲轩把话说得很清楚：真正卡住这件事的，既不是模型能力，也不是学术圈的惯性，而是我们能不能想象出「用 AI 强化理解」的各种新用法。 这也解释了为什么他把这场公开讲座的题目，从「机器辅助证明」改成了「数学 2.0」——前者说的是工具，后者说的是一个时代要做的事情。