破解70年难题：丘成桐致谢GPT和Claude
【导语】近日，arXiv平台发布了一篇丘成桐(Shing-Tung Yau)研究团队的微分几何论文。论文宣告了一个悬置半个多世纪的核心问题取得彻底突破：全部28种光滑同伦7维球面，都可以构造出严格正截面曲率的光滑黎曼度量。论文还特别感谢了ChatGPT-6 Astra和Claude Pro。
▲ 论文摘要，链接：arxiv.org/pdf/2609.29426 2026年9月24日，arXiv平台刊发了一篇重磅微分几何论文 —— 《POSITIVE SECTIONAL CURVATURE ON ALL SMOOTH 7-SPHERES》(所有光滑7维球面上的正截面曲率)
▲ 论文地址，链接：arxiv.org/abs/2609.29426 论文由何杨辉(Yang-Hui He)、刘子然(Ziran Liu)与丘成桐(Shing-Tung Yau)合作完成。这篇论文宣告了一个悬置半个多世纪的核心问题取得了彻底突破： 全部28种光滑同伦7维球面，都可以构造出严格正截面曲率的光滑黎曼度量。 这一结论补上了正曲率与奇异球面关系的最后一块拼图，也重新定义了几何学界对“曲率条件”与“光滑结构”之间关联的认知。 丘成桐在论文中，还特别感谢了人工智能模型： 致谢：感谢人工智能模型，特别是ChatGPT 6 Astra与Claude Pro，它们在部分证明思路探索与演算工作上提供了宝贵协助。尽管如此，论文的人工核验与内容阐述责任由作者承担。
▲ 论文节选，链接：arxiv.org/pdf/2609.29426 ▌从米尔诺的惊世发现，到半个世纪的追问 故事要从1956年说起。 美国传奇拓扑/微分几何大师、菲尔兹奖得主、阿贝尔奖得主约翰·米尔诺(John Milnor)，当时给出了一个震惊整个拓扑界的构造： 存在7维的光滑流形，它和标准的7维球面同胚〔拓扑意义上完全是同一个球面〕，但却不微分同胚〔光滑结构存在本质差异，无法通过光滑坐标变换互相转化〕。 这就是“奇异球面(Exotic sphere)”的诞生：同一个拓扑球面，可以承载完全不同的光滑结构，学界又称“怪球”。这也是米尔诺获得1962年菲尔兹奖的的最核心的成果。
▲ 约翰·米尔诺(John Milnor) 七年之后，1963年，法国数学家米歇尔·凯尔韦尔(Michel Kervaire)与米尔诺进一步证明：7维同伦球面的定向微分同胚类构成一个群Θ₇，它同构于模28的整数群Z/28Z。 换句话说： 7维球面一共存在28种不同的光滑结构，其中只有1种是我们熟悉的标准球面，剩下27种均为“奇异球面”。
▲ 7维“奇异球面”的示意 拓扑结构一致，光滑结构不同，那几何性质会不会有差异？ 一个最核心的追问随之而来： 标准球面可以拥有常正截面曲率(sectional curvature)(比如单位球面截面曲率恒为1)，那奇异球面也能承载严格处处正的截面曲率吗？ 通俗地说，就是标准球面的每一小块、从每一个角度去看，都是向内弯曲的，没有任何一个地方是平的或者向外翻的。数学家也想知道，另外那27个“怪球”，能不能也做到这一点。 这个问题的分量在于： 它直接检验着黎曼几何的核心命题 —— 正截面曲率这种很强的几何条件，会不会强制限制流形的光滑类型？ 在此之前，人们已经知道一个极强的刚性结果：Brendle和Schoen的微分球面定理指出，如果一个闭的单连通黎曼流形满足严格点态1/4-夹逼(1/4-pinching，曲率夹逼)，即每一点处截面曲率的最小值大于最大值的1/4，那它一定微分同胚于标准球面。 这就直接说明：奇异球面不可能有1/4夹逼的正曲率。 但如果去掉“夹逼”这个定量条件，只要求截面曲率处处严格大于0呢？奇异球面还会被排除吗？这个问题，整整困扰了几何学界半个多世纪。 ▌从非负到严格正：几代数学家的接力 1974年，数学家德特勒夫·格罗莫尔(Detlef Gromoll)和沃尔夫冈·迈耶(Wolfgang Meyer)，共同构造出了第一个具有非负截面曲率的奇异球面(Gromoll-Meyer球面)，首次证明了奇异球面至少可以“不出现负曲率”。
▲论文摘要，链接：webhomes.maths.ed.ac.uk/~v1ranick/papers/gromey.pdf 换句话说，就是这些“怪球”的每一小块要么向内弯，要么刚好是平的，但不会向外翻。但“非负”和“严格处处为正”之间，隔着一道巨大的技术鸿沟。 此后几十年里，数学家们不断向前推进： 2000年，丹麦数学家格罗夫(Karsten Grove)与德国数学家齐勒(Wolfgang Ziller)证明，所有米尔诺球上都能构造出非负截面曲率的黎曼度量。 2020年，德国数学家戈特(Sebastian Goette)、爱尔兰数学家凯林(Martin Kerin)与美国数学家尚卡尔(Krishnan Shankar)，将非负截面曲率度量的存在性推广到全部7维奇异球面。
▲论文摘要，链接：arxiv.org/pdf/1705.05895 在2000年到2020年的二十多年间，一直有数学家们进行了尝试，但始终没有人能证明：所有28种7维奇异球面，都能拥有严格处处正的截面曲率。 1999年，威廉(Frederick Wilhelm，美国)在格罗莫尔-迈耶球面上得到了几乎处处正的截面曲率。 2018年，埃申堡(Jost Eschenburg，德国)与凯林(Martin Kerin，爱尔兰)构造了“几乎正曲率”度量(非负且在开稠密集上为正)。 彼得森(Peter Petersen，美国)与威廉(Frederick Wilhelm，美国)、欧阳泽亮(Zeliang Ouyang，中国)、郭帅(Shuai Guo，中国)等也都先后提出过严格正曲率的构造尝试。 直到本篇论文的出现。 ▌证明思路：拆成两半、各自构造，再精准粘合 论文的整体策略可以用一句话概括： 把奇异球面拆成两个7维圆盘，分别在圆盘上构造满足边界条件的正曲率度量，再用粘合定理拼成完整的闭球面。 双圆盘模型：奇异球面的“南北半球”拆分 论文作者使用了阿根廷数学家杜兰(Carlos Durán)、德国数学家普特曼(Thomas Püttmann)和巴西数学里加斯(Antonio Rigas)在1999年提出的「双圆盘模型」: 每一个7维同伦球面∑ₙ(对应28类中的第n类)，都可以看作两个7维圆盘Dₙ(北圆盘)和Dₛ(南圆盘)，沿着边界通过指定微分同胚φₙ粘合而成。对于不同的n对应不同的粘合映射，也就对应不同的光滑结构。
▲双圆盘模型示意，AI制图：量子位 换句话说，在这个模型里，每一种七维球面都可以看成两个七维圆盘沿着各自的边界粘合而成，28种球面对应28种不同的粘合方式。 于是问题被转化为： 能不能给南北两个7维圆盘都装上严格正截面曲率的度量，使得它们边界上的诱导度量在粘合映射下刚好相等，并且满足正曲率粘合的相容性条件？ 南北圆盘：两套定制的正曲率构造 作者并不是直接在七维圆盘上造度量，他们先以三维球面S³为纤维的主丛(principal bundle)，把问题搬到了一个十维空间里。 具体来说，就是在七维圆盘的每一个点上，都站着一个三维的小球，所有这些小球加在一起，就构成了一个十维的空间。在这个十维空间上造度量，技术上更容易控制。 然后，通过黎曼淹没(Riemannian submersion)，把十维空间的度量「投影」到七维圆盘上。 针对南北两个圆盘的不同特点，论文分别设计了独立的度量构造方案： ✧南圆盘✧ 采用带主丛联络的黎曼度量，通过精心设计纤维半径的指数型函数，利用Hessian的正性保证混合曲率项为正，最终得到整个圆盘(包括边界)上的严格正截面曲率。 ✧北圆盘✧ 采用双扭乘度量，专门设计了角度方向的轮廓函数和纤维方向的半径函数，让基底曲率主导混合项，同样实现了圆盘上处处严格正的截面曲率。 这两套构造最精妙的地方在于： 它们可以在边界上匹配完全相同的诱导度量，同时让两个圆盘边界的向外第二基本形式之和保持严格正定 —— 这正是粘合定理需要的核心条件。
▲双圆盘模型中的非对称构造，AI制图：量子位 关键一步：正曲率粘合定理 有了两个边界等距、且第二基本形式和为正定的正曲率圆盘，就可以使用Reiser-Wraith粘合定理。 2023年，德国数学家赖泽(Philipp Reiser)与爱尔兰数学家雷思(David J. Wraith)建立并推广了经典的佩雷尔曼粘合定理，提出了适用范围更广的Reiser‑Wraith正曲率粘合定理。
▲论文摘要，链接：arxiv.org/pdf/2308.06996 定理允许将两个带正中间Ricci曲率(包含严格正截面曲率)、边界等距匹配的黎曼流形沿公共边界光滑粘合，仅需满足两侧边界第二基本形式之和半正定的边界匹配条件，即可保证粘合后的整体流形依然保持对应的正曲率条件。 换句话说： 只要两个带边流形的边界度量等距，且向外第二基本形式之和半正定，就可以将它们光滑地粘起来，得到整体仍然具有严格正截面曲率的闭流形。 论文还在附录中给出了严格正情形的完整粘合证明：通过三次多项式插值搭配张量值磨光技术，确保接缝处平滑过渡，且曲率处处严格大于0，不会在粘合位置出现非正的“瑕疵”。 ▌它为什么重要？重新理解正曲率的刚性 这篇论文最深刻的意义，在于它和Brendle-Schoen球面定理形成了完美的互补： 如果曲率足够“均匀”(满足1/4夹逼)，那么正曲率会强制流形是标准球面，奇异球面被排除。 如果只要求曲率处处为正，不限制夹逼程度，那么所有28种光滑结构都可以存在，正曲率本身并不排除任何光滑类型。 换句话说： 决定7维球面光滑刚性的，从来不是“曲率正不正”，而是“曲率分布得均不均匀”。 这彻底改变了人们对正截面曲率与光滑结构关系的认知。正曲率的“刚性”，其实是定量的曲率分布带来的，而非曲率的正号本身。 华裔科学家、数学大师丘成桐 丘成桐(Shing-Tung Yau)，1949年4月生于广东汕头，美籍华裔数学家，是当代最具影响力的微分几何大师，首位获得菲尔兹奖的华人。
▲丘成桐官方照片 1966年，考入香港中文大学数学系，三年完成本科。1969年，赴美国加州大学伯克利分校深造，师从数学大师陈省身。1971年，22岁取得博士学位。 1976年(27岁)，证明卡拉比猜想，由此诞生卡拉比-丘流形(Calabi-Yau manifold)，既是代数几何核心对象，也是弦理论的基础空间模型。开创了重要数学分支几何分析，打通微分几何与偏微分方程。 1981年，与数学家理查德·舍恩(Richard Schoen)合作证明广义相对论里的正质量猜想。之后，还在Monge-Ampère方程、镜对称猜想、拓扑等领域取得大量突破性成果。 1982年(33岁)，获得菲尔兹奖(数学界最高荣誉，俗称数学诺贝尔奖)，该奖项第一个获奖的华人。还陆续获得了维布伦几何奖、麦克阿瑟天才奖、克雷福德奖、美国国家科学奖章、沃尔夫数学奖、马塞尔·格罗斯曼奖(物理领域大奖)等重大奖项。 ✧数学界的巨大贡献✧ 丘成桐的工作深刻重塑了微分几何，打通数学与理论物理，他开创的几何分析方向，后续多名学者凭该方向成果拿到菲尔兹奖，是20世纪下半叶数学界标志性人物之一。 2022年，全职任教清华大学，丘成桐数学科学中心主任、北京雁栖湖应用数学研究院院长、清华求真书院院长，长期致力于在中国本土培养顶尖数学人才，创办丘成桐数学竞赛、求真书院，发掘青年数学人才。 中国科学院外籍院士(1994)，香港中文大学博文讲座教授、数学科学研究所所长。美国国家科学院院士、美国艺术与科学院院士，哈佛大学数学系、物理系的终身教授。 ✧丘成桐谈人工智能(AI)✧ 丘成桐对于人工智能(AI)的观点，近几年也清晰看到变化。 早期他认为AI只是辅助工具、无法替代顶尖数学家。后续逐步认可AI在数学科研中的价值，提出数学是AI底层突破口，主张人机协同，但始终坚持AI不能独立完成原创性的观念突破。 2023年4月 - 复旦大学浦江科学大师讲坛 提出核心观点：AI无法取代顶尖数学家。包括：AI只能整合人类已有的知识，很难产生观念层面的原创突破；AI离不开数学，想要在AI领域取得根本性突破，必须夯实基础数学。当时他判断：尖端数学研究基本不会受到AI的影响。 2024年4月 - 中关村论坛年会 媒体采访核心观点：AI可以帮助数学发展，但不能改变数学。包括：AI擅长海量数据处理，可作为数学研究的辅助工具；但数学本身的底层结构、重大猜想的原创证明，AI无法颠覆；数学是AI发展的根基，数学能够为AI提供理论支撑。 2024年7月 - 国际基础科学大会・基础科学与人工智能论坛 核心观点：推动数学与AI交叉，鼓励交叉学科人才培养。包括：举办数学与AI专题论坛，促进数学家和AI研究者对话；强调AI擅长模式识别与数据处理，但创造性、新概念生成能力不足，无法替代人类科学家。 2025年7月 - 世界人工智能大会 核心观点：现场命题测试国产大模型，认可AI解数学题能力，但边界清晰。包括：现场出题测试多款国产大模型的数学推理能力；认为AI可以解奥数、一些中小型数学问题，但还不能攻克主流数学中长期悬而未决的重大猜想；建议学生尽早学会使用AI工具做文献检索、归纳、辅助计算。 2025年9月 - IJCAI 国际人工智能联合会议(广州) 主旨报告《通过现代数学理论推动人工智能发展》，核心观点：AI的下一轮重大突破，需要现代数学理论。包括：当前大模型靠堆算力、堆数据，存在可解释性差、幻觉等根本缺陷；需要从微分几何、泛函分析等现代数学里寻找新框架，给AI建立严谨逻辑，解决AI幻觉与推理不稳定问题。 2026年1月 - 第十届世界华人数学家大会(ICCM) 核心观点：AI需要属于这个时代的FFT式数学突破，人机协同才是方向。包括：AI需要的不是更多显卡，而是属于这个时代的FFT；现在AI瓶颈不是算力，而是缺少底层数学范式革新；AI只能整合已有知识，能够提升科研效率，但不是科学范式革命；AI擅长解题，但无法提出宏大原创猜想、发现数学里的“奇点”；发起全球数学征解计划，尝试用数学严谨逻辑校正AI幻觉，推动数学与AI协同进化；提出人脑+AI合作攻克重大数学难题。 2026年8月 - 澎湃新闻专访 核心观点：区分两类数学问题，AI能解决组合类问题，但主流深度数学问题仍无法独立突破。包括：AI解决一些组合类、埃尔德什风格问题并不意外；但希尔伯特23问这类深刻的主流数学难题，AI至今无法独立完成；AI可以做已有知识的组合推理，但无法完成对宇宙规律、数学结构的深度原创洞察。 2026年9月，对外公开提出筹办《AI辅助数学杂志》，丘成桐本人担任总编辑，预计2027年创刊。日前，求真书院已经启动AI辅助形式化证明项目，尝试用AI协助完成庞加莱猜想形式化证明。 在本次论文中正式致谢了人工智能(AI)模型，特别提到是ChatGPT 6 Astra与Claude Pro，阐明了AI在部分证明思路探索与演算工作上提供了宝贵协助。不过也表明：论文的人工核验与内容阐述责任由作者承担。 从2023到2026年，丘成桐从“AI不影响尖端数学”，逐步转向积极拥抱AI作为科研助手。丘成桐是菲尔兹奖获得者中积极拥抱人工智能的代表，但他的核心立场始终没有变： AI是效率工具，无法独立产生观念层面的原创数学突破。 AI未来的颠覆性进步，必须扎根更深的数学理论。 28位菲尔兹奖得主的联合宣言 9月11日，陶哲轩、邓煜、舒尔茨等首批25位菲尔兹奖得主联合署名发表了一份联合宣言《A Severe Misalignment of AI in Mathematics》，共同警告：AI企业将“破解数学难题”作为性能标杆的狂欢，正在损害数学这门科学本身！AI与数学研究的目标，已经发生了严重的错位。
▲ 联合宣言及签字板：mathandai.org 陶哲轩也提到：“遗憾的是，我们没能像莱顿宣言那样开展更充分的征询磋商流程；但我们判断事态紧迫，必须尽早对外发布这份声明”。
▲ 联合宣言起草签字的25位菲尔兹奖得主全景：阿图尔·阿维拉(2014)，曼朱尔·巴尔加瓦(2014)，考切尔·比尔卡尔(2018)，皮埃尔·德利涅(1978)，邓煜(2026)，西蒙·唐纳森(1986)，雨果·杜米尼-科潘(2022)，阿莱西奥·菲加利(2018)，马丁·海雷尔(2014)，许埈珥(2022)，马克西姆·孔采维奇(1998)，埃隆·林登施特劳斯(2010)，皮埃尔-路易·利翁斯(1994)，詹姆斯·梅纳德(2022)，柯蒂斯·麦克马伦(1998)，森重文(1990)，吴宝珠(2010)，安德烈·奥昆科夫(2006)，彼得·舒尔茨(2018)，斯坦尼斯拉夫·斯米尔诺夫(2010)，陶哲轩(2006)，玛丽娜·维亚佐夫斯卡(2022)，塞德里克·维拉尼(2010)，文德林·维尔纳(2006)，叶菲姆·泽尔马诺夫(1994) 截止到目前，这份联合宣言又增加了三位菲尔兹奖得主签名：弗拉基米尔·德林费尔德(1990)、格里戈里·马尔古利斯(1978)、戴维·芒福德(1974)，已有28位菲奖得主签字。 值得一提的是，丘成桐并没有在这份联合宣言中签名。 结语 从1956年米尔诺(Milnor)发现奇异球面，到2026年的今天，丘成桐团队证明全部28种7维球面都存在正曲率度量，整整走过了70年。 这不仅是一个经典问题的完美收官，更是微分几何中拓扑、光滑结构与曲率三者关系的一次深度澄清。它告诉我们：几何的约束远比我们想象的更精细 —— 正号只是起点，曲率的定量分布，才是掌控光滑刚性的那只手。 不过更让大家深思的是，近期AI接连攻破多项悬置多年的数学猜想，在本次7维奇异球面研究中，AI辅助探索证明思路、完成复杂演算，已经在基础数学领域站稳一席之地。 无独有偶，就在几天前，Vals AI研究员格比·贾夫(Geby Jaff)公布了一项实验成果：10个Claude Opus 5.5智能体组成的AI团队，仅用15小时，就提出了全新的最短路径算法C-HD。它不仅在理论复杂度上超越了Dijkstra算法的经典上界，还用Lean工具完成了完整的形式化数学证明。人工智能(AI)能力已从基础数学拓展至计算机领域。 人机协同的科研范式将持续释放创造力，大幅加快前沿猜想的突破速度，重塑数学家的研究工作。