希尔伯特的梦想，被24岁的图灵击碎科学方程式

我们每天都在使用计算机——手机、笔记本、车载系统、甚至智能手表。但你是否想过这样一个问题：计算机到底在“算”什么？存在它永远也算不出来的东西吗？

这个问题看似简单，却困扰了人类数千年。从欧几里得的几何推演，到莱布尼茨梦想中的“推理计算器”，再到希尔伯特在1928年向全世界数学家发出的挑战——能不能找到一套机械化的步骤，用来判定任何一个数学命题的真假？

如果答案是“能”，那意味着数学可以被机器自动完成，所有真理都能在有限步骤内被穷尽。如果“不能”，则意味着人类知识的边界之外，还有一片永不可达的黑暗领域。

90年前的夏天，一位24岁的英国人给出了出乎所有人意料的回答。他用一种前所未有的方式，锚定了“计算”的精确轮廓，定义了它的极限。

希尔伯特的宏愿：为数学寻找终极算法

大卫·希尔伯特，德国数学家，主要从事不变量论、代数数论、几何、分析、理论物理、数学的基本原理和无限方面的研究。

库尔特·哥德尔，美籍奥地利数学家、逻辑学家和哲学家。

图灵（末排右三）在剑桥大学的合影

1935年，攻读硕士学位的图灵系统学习了哥德尔不完备定理，正式接触到悬而未决的希尔伯特判定问题。当时，美国逻辑学家阿隆佐·丘奇（Alonzo Church）已在λ演算领域就这一问题取得突破性进展，但图灵也找到了全新的研究突破口：要回答“有没有一种机械步骤”，首先必须精确回答“什么是机械步骤”。这个看似循环的问题，恰恰是破局的关键。

图灵的顿悟：如何用一台“纸带机器”突围判定问题的困境

可计算数‌是指存在一台图灵机，能在有限步骤内输出该实数任意精度的小数（或二进制）展开位数的实数。

更天才的一步是，图灵进一步构想了一种“通用图灵机”——一台能够读取其他图灵机的描述，并模拟其运行的机器。

对于任意一个图灵机，因为它的描述是有限的，因此我们总可以用某种方式将其编码为字符串。我们用 表示图灵机 M 的编码。我们可以构造出一个特殊的图灵机，它接受任意一个图灵机 M 的编码 ，然后模拟 M 的运作，这样的图灵机称为通用图灵机。

阿隆佐·丘奇，美国数学家，1936年发表可计算函数的第一份精确定义，对计算理论的系统发展做出巨大贡献。他指导了包括艾伦·图灵、斯蒂芬·克林、约翰·罗瑟和约翰·凯梅尼在内的学生。

从 1936 到 2026：

思想遗产如何塑造90年后的数字世界

图灵（右一）在曼彻斯特大学工作