刚刚，中国数学家在数学上取得突破约瑟夫·霍利特

自古希腊以来，研究者一直试图分离出曲线上的有理点。如今，他们首次得到了一个可统一适用于所有曲线的公式。

数学家刚刚在该领域一个经久不衰的经典问题上迈出了一大步。

曲线——诸如彗星轨迹或股市趋势那样在空间中蜿蜒的线条——是数学中最简单的对象之一。然而，尽管它们已被研究数千年，数学家对其仍有一些未解的基本问题。

数论学家尤其关注在曲线坐标网格上，坐标为整数或分数的特殊点。这些稀疏的点通常以复杂而有意义的方式相互关联。“我们是数学家，我们关心结构，”哈佛大学的格哈德·盖德大学教授巴里·马祖尔说。这种结构有时很有用；例如，所谓的椭圆曲线上的有理点催生了一整个密码学分支。

但曲线种类繁多，由无数个无限族组成，每个族都有其独特的有理点结构。数论学家一直梦想找到一个适用于每一条曲线的具体数学法则。但这样一个统一的公式长久以来都难以捉摸。

几周前，情况发生了变化。在2月2日发布的一篇预印本论文中，三位中国数学家首次对所有曲线可能包含的有理点数量设定了严格的上限。其数学意义是无限的。

“这真是一个了不起的成果，为未来的预期设定了新标准，”智利天主教大学的数学家赫克托·帕斯滕评价道，他未参与此项工作。

有限还是无限？

曲线在数学上由简单的多项式方程表示。

以方程 x² + y² = 1 为例。如果 x 和 y 是坐标平面的两条轴，这个方程表示一个圆。圆上的每个点都对应此方程的一个解。例如，点 x = 1 和 y = 0，写作坐标对(1, 0)，就在圆上。包括 (1, 0) 和 (3/5, 4/5) 在内的一些解是“有理的”，意味着 x 和 y 都是整数或整数之比。其他解，如 (1/√2, 1/√2)，则是“无理的”。

古希腊数学家痴迷于在曲线上寻找有理点。他们想知道一条给定曲线上有多少这样的点。这是数学中最简单的问题之一，却困扰了数学家数千年。“这些问题位于数论的核心，”新成果的合著者、图卢兹数学研究所的数学家周晟轩（音译）说。

圆有无穷多个有理点。对于任何 x 和 y 的幂次不超过 2 的其他曲线，也是如此。这些“2 次”方程要么根本没有有理点，要么有无穷多个。而更高一次（3 次）的曲线上，有理点数量有时无限，有时有限。

但在1922年，路易·莫德尔提出了一个著名的猜想，指出情况在更高次方程中会急剧变化。该猜想称，当曲线的次数为4或更高时，有理点的数量总是有限的。

六十一年后，格尔德·法尔廷斯证明了莫德尔的猜想是正确的，并因此获得了数学界最高荣誉菲尔兹奖。但莫德尔猜想（现称法尔廷斯定理）并未说明这些曲线有多少个点。

自那以后，数学家们一直在寻找一个公式来回答这个问题。“我们只知道存在这样一个公式，”帕斯滕说，“它就在某个地方，这很好，但我们想要得到它。”

适用于每条曲线的法则

这正是新证明的用武之地。其作者提出了一个可应用于数学宇宙中任何曲线（无论其次数如何）的公式。它没有精确指出该曲线有多少有理点，但给出了这个数字可能的上限。

此类先前的公式要么不适用于所有曲线，要么依赖于定义曲线的具体方程。新公式是数学家们自法尔廷斯证明以来一直希望的，一个不依赖于方程系数、可“统一”适用于所有曲线的陈述。“这一个陈述让我们有了广泛的理解，”马祖尔说。

它只依赖于两件事。第一是定义曲线的多项式的次数——次数越高，结论的强度越弱。公式依赖的第二件事是“雅可比簇”，一种可以从任何曲线构造出的特殊曲面。雅可比簇本身也很有趣，这个公式为研究它们也提供了一条诱人的路径。

新结果是朝着了解曲线有多少个点（而不仅仅是它们是否有无限个点）迈出的第一步。“地平线上还有更多问题，”帕斯滕说，“我们现在可以有更大的雄心。”

曲线也只是由方程定义的数学形状世界的第一个立足点。除了 x 和 y 之外还有更多变量的多项式方程可以生成更复杂的对象，如曲面或其高维类似物——“流形”。流形是现代数学以及理论物理学的核心，在物理学中用于描绘时空。

所有这些关于有理点的问题对于这些高维对象也至关重要。例如，帕斯滕和数学家杰尔松·卡罗在2023年的一篇论文中，为某些曲面上的有理点数量设定了上限。新成果让帕斯滕对这一更广泛的探索取得进一步进展抱有希望。

这一发现是近期关于曲线上有理点的若干新成果之一。综合来看，这波热潮可能标志着这个千年古老传奇的新篇章。

“这是一个令人兴奋、发展迅速的领域，”马祖尔说，“现在正在发生一些大事。”