希尔伯特：我们必须知道，我们终将知道数学家

大卫·希尔伯特（David Hilbert）1862年1月23日生于普鲁士哥尼斯堡附近的韦劳，1943年2月14日卒于德国格丁根。

1888年，这个领域迎来了颠覆性的成果，希尔伯特发表了一篇短论文，在不计算任何不变量的前提下证明了有限基总是存在。事实上，他证明了任何一组合适的代数表达式总是一组有限基，无论它是否由不变量组成。这并不是戈丹所期待的答案，所以当希尔伯特把这项研究提交给《数学年鉴》时，他遭到了戈丹的排斥。戈丹说：“这不是数学，这是神学。”希尔伯特向编辑克莱因抱怨，他不愿修改论文，除非有人“对我的推理提出明确而无可辩驳的反对意见”。克莱因同意按原样发表论文。我猜测他对证明的理解比戈丹更透彻，当计算能力需要让位于概念思维时，戈丹已经力不从心了。

几年后，希尔伯特扩展了他的成果，并提交了另一篇论文。克莱因接收了这篇论文，并称其为“《年鉴》有史以来发表过的关于普通代数的最重要的研究”。在希尔伯特看来，他已经实现了在这一领域的所有目标。他在给冈可夫斯基的信中说：“我一定会离开不变量领域。”他也确实这么做了。

结合费马大定理，我们讨论了库默尔对代数数的使用和他的理想数概念。戴德金简化了这一思想，用代数数的特殊集合来重新表述，他称之为“理想”。库默尔之后，在伽罗瓦的方程理论和抽象代数的发展推动下，代数数论开始兴起。“代数数论”一说有两种解释，其一是数论中的代数方法，其二是代数数的理论。这两种含义后来趋于一致，这正是德国数学学会希望希尔伯特厘清的。这项工作希尔伯特完成得很有个人特点，他没有局限于眼前的任务，而是问出了数学家面对大量令人印象深刻但杂乱无章的结果时挂在嘴边的问题：“很好，但这到底是什么？”这引导他提出并证明了许多新定理。

在准备《数论报告》的整个过程中，希尔伯特从闵可夫斯基那里得到了大量的反馈意见。有时朋友的反馈过于丰富，以至于希尔伯特也会觉得心里没底，不知道终稿能否令闵可夫斯基满意。不过报告最终还是出版了。《数论报告》提出并证明了类似二次互反律的一般定律，为如今的类域论奠定了基础，尽管具有很强的技术性，但直到现在它也是代数数论蓬勃发展的框架。报告的序言中有下面这样一段话：

“所以，我们可以看到，算术作为数学的女王，在多大程度上征服了代数和函数理论的广阔疆域，成为它们的领导者……如果我没有说错的话，这表明纯数学的现代发展首先是在数的旗帜下进行的。”

“过圆内一点的直线一定与圆相交”就是一个简单的例子。这在图上看起来很明显，但并不是欧几里得公理的逻辑结果。希尔伯特意识到欧几里得的公理体系并不完备，于是着手弥补其中的缺陷。欧几里得将点定义为“没有部分的东西”，将直线定义为“其上均匀放置着点的线”。希尔伯特觉得这些说法毫无意义。他认为，重要的是这些概念关联的行为，而不是它们在人头脑中唤起的图像。希尔伯特告诉他的同事们：“桌子、椅子和啤酒杯必须能让人们脱口而出，点、直线和平面就没做到这一点。”重要的是不能再依赖图片了。